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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Logik

auch „unscharfe Logik“, nutzt Hilfsmittel der mehrwertigen Logik und das Konzept der Fuzzy-Mengen insbesondere zur Modellierung von Problemen und Strategien der Steuerung und Beeinflussung komplexer Systeme.

Im Verlaufe der Entwicklung unterlag der Begriff „Fuzzy-Logik“ einem stetigen Bedeutungswechsel. Ursprünglich spielten die Anwendungen in der Steuerungstechnik eine untergeordnete Rolle. Die zugrundeliegende Intuition geht davon aus, daß komplexe Objekte, Zustände, Vorgänge, Verfahren, … nicht oder nur mit sehr hohem Aufwand vollständig beschrieben werden können. Häufig ist man auf unvollständige Informationen angewiesen, < ?PageNum _219die aber einen gewissen Informationsgehalt besitzen. Informationen lassen sich in formalisierten Sprachen als Aussagen formulieren. In der klassischen Mathematik sind alle Objekte exakt (scharf) definiert (mathematische Objekte sind hier allein mit Hilfe von Mengen und deren Elementbeziehung definierbar), und alle Aussagen sind so präzise formuliert, daß sie entweder wahr oder falsch sind (Prinzip der Zweiwertigkeit). Eine Information, die also nicht „ganz wahr“ ist, ist demzufolge sofort falsch und somit als Information fast wertlos, obwohl sie vielleicht einen nicht unbedeutenden Informationsgehalt besitzt. Diese Grundidee ausnutzend ist zunächst das Konzept der Fuzzy-Mengen entstanden, wonach auch mathematische Objekte als unscharf gegeben anzusehen sind. Eine Fuzzy-Menge A über einem Universum U (U ist eine im klassischen Sinn verstandene Menge) wird durch eine spezielle Funktion (Zugehörigkeitsfunktion) μA : U → [0, 1] charakterisiert, wobei [0,1] als abgeschlossenes Intervall der reellen Zahlen zu verstehen ist. Die Fuzzy-Menge A wird mit der Zugehörigkeitsfunktion μA identifiziert. Fuzzy-Mengen sind also verallgemeinerte charakteristische Funktionen, wobei hier „xA“ bedeutet, daß die Aussageform xA wahr ist. Die Fuzzy-Logik geht davon aus, daß der Informationsgehalt solcher Aussageformen nicht allein mit „wahr“ bzw. „falsch“ bewertet werden kann und benutzt daher die Werkzeuge der mehrwertigen Logik, d. h., sie setzt mehrere (sogar unendlich viele) abgestufte oder graduierte Wahrheitswerte bei der Beurteilung von Informationen voraus. In der Fuzzy-Logik wird meistens das Intervall [0, 1] als Wahrheitswertevorrat genutzt. Der Wahrheitswert zusammengesetzter Aussagen (komplexerer Informationen) ist ebenfalls im Sinne der mehrwertigen Logik zu verstehen.

Die zur Simulierung und Modellierung von Prozeßsteuerungen verwendete Steuerlogik wird häufig „unscharf“ mit Fuzzy-Logik umschrieben.

Wir geben noch ein einfaches und bekanntes Beispiel für fuzzy-logisches Schließen, auch approximatives Schließen genannt: Die Relation des Farbe-Reifegrades für Tomaten:

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Um zu einem solchen Schluß zu gelangen, bedarf es über die verallgemeinerte modus ponens-Regel hinaus zusätzliches Wissen über die möglichen Modifikationen der Prämisse und den daraus folgen den Konsequenzen. Im Beispiel wird das Wissen benötigt, daß mit dem Anstieg der Rotfärbung ein Anstieg des Reifegrades einhergeht. Zadeh schlug vor, Implikationen zwischen unscharfen Fakten mittels Fuzzy-Relationen zu beschreiben:

Ist à eine Fuzzy-Menge auf X und \(\tilde{R}(x,y)\) eine zweistellige Relation auf X × Y, dann wird à durch \(\tilde{R}\) in eine Fuzzy-Menge \(\tilde{B}\) auf Y abgebildet gemäß \(\tilde{A}\circ \tilde{R}\).

Bei Verwendung der max-min-Komposition ergibt sich das Inferenzbild von à bezüglich der Fuzzy-Relation \(\tilde{R}\) als \begin{equation} \mu(y)=\max_{x\in X}\min(\mu_{A}(x),\mu_{R}(x,y)). \end{equation}.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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