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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Maß

unscharfes Maß, eine auf einer σ- Algebra f über dem Stichprobenraum Ω definierte Funktion g : f → [0,1] mit den Eigenschaften: \begin{align} & g(\phi)=0,\\ & g(\Omega)=1,\\ & A,B \in f\ \mathrm{und}\ A\subseteq B\\ & \Rightarrow g(A)\leq g(B)\qquad (Monotonie),\\ & A_{1},A_{2},\ldots\in f\ \mathrm{und}\ \ A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots\\ &\Rightarrow \lim_{i\rightarrow \infty}g(A_{i})=g(\lim_{i\rightarrow \infty}A_{i})\qquad (Stetigkeit). \end{align}.

Da ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf f sowohl der Monotonie als auch der Stetigkeitsbedingung genügt, ist die Wahrscheinlichkeit ein Fuzzy-Maß.

Weitere Spezialfälle des Fuzzy-Maßes sind das Möglichkeitsmaß, das Glaubensmaß, das Plausibilitätsmaß und das λ-Fuzzy-Maß.

Dabei ist ein λ-Fuzzy-Maß auf f eine auf einer σ -Algebra f über dem Stichprobenraum Ω definierte Funktion gλ : f → [0, 1], die den Bedingungen genügt: \begin{align} & g(\Omega)=1,\\ & A,B \in f \ \mathrm{und}\ A\subseteq B \Rightarrow g(A)\leq g(B),\\ & A,B \in f \ \mathrm{und}\ A\cap B =\varnothing \ \mathrm{und}\ \lambda \gt -1\\ & \Rightarrow g_{\lambda}(A\cup B)=g_{\lambda}(A)+g_{\lambda}(B)+\lambda g_{\lambda}(A)g_{\lambda}(B).\end{align} Den Zusammenhang zwischen den wichtigsten Fuzzy-Maßen auf einer endlichen Menge Ω zeigt die Abbildung.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Fuzzy-Maß
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Fuzzy-Maβe

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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