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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Punkt

die Erweiterung des Begriffs der Fuzzy-Zahl auf eine Grundmenge ℝn.

Ein scharfer Punkt, d. h. ein Vektor \(\bar{\mathbf{x}}=(\bar{x}_{1},\ldots,\bar{x}_{n})^{T}\), bildet den Kern des Fuzzy-Punktes, von dem aus die Zugehörigkeitsfunktion nach allen Seiten monoton fällt.

Häufig benutzte Beispiele sind

  • die Hyperpyramide mit der Zugehörigkeitsfunktion \begin{array}\mu ({x}_{1},\ldots,{x}_{n})=\mu (\bf{x})=\\ \,\,\,\,\,\,=\max \left[0,1-\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{c}_{j}\cdot |{x}_{j}-{\bar{x}}_{j}|\right],\end{array} wobei cj > 0,
  • die Hyperhalbkugel mit der Zugehörigkeitsfunktion \begin{array}\mu ({x}_{1},\ldots,{x}_{n})=\mu (\bf x)=\\ \,\,\,\,\,\,=\max \left[0,\sqrt{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{({x}_{j}-{\bar{x}}_{j})}^{2}}\right],\end{array}
  • das elliptische Hyperparaboloid mit der Zugehörigkeitsfunktion \begin{array}\mu ({x}_{1},\ldots,{x}_{n})=\mu (\bf x)=\\ \,\,\,\,\,=\max [0,1-(\bf x-\bar{\bf x})^T B(x-\bar{x})]\end{array} mit einer positiv definiten (n × n)-Matrix B.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Fuzzy-Punkt
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Fuzzy-Punkt mit \(\begin{eqnarray}\mu ({x}_{1},{x}_{2})=\max [0,1-\frac{1}{4}|{x}_{1}-5|-\frac{1}{2}|{x}_{2}-3|]\end{eqnarray}\)

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Fuzzy-Punkt
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Fuzzy-Punkt mit \begin{eqnarray}\mu ({x}_{1},{x}_{2})=\max [0,\sqrt{1-{({x}_{1}-2)}^{2}+{({x}_{2}-\frac{3}{2})}^{2}}]\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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