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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Regression

Techniken, mit denen eine Funktion aus einem vorgegebenen (parametrisierten) Funktionenraum so bestimmt wird, daß sie für gegebene Daten den Einfluß von unabhängigen Komponenten auf eine abhängige Komponente bestmöglich beschreibt, analog der klassischen Regression. Dabei sind in der Fuzzy-Regression die Daten oder die Beschreibungsfunktion „fuzzy“.

Eine Fuzzy-Modellierung ist dann sinnvoll, wenn ein betrachtetes Phänomen über die stochastische Variabilität hinaus weitere Ungenauigkeiten aufweist, so daß nach einem fuzzy-funktionalen Zusammenhang (vgl. Fuzzy-Relation, Fuzzy-Restriktion) zwischen den gegebenen Daten gesucht werden sollte.

Ein Übersicht über die Bandbreite von Fuzzy-Regressions-Methoden aufgrund der Fuzzy-Modellierung der Einflußfaktoren gibt die folgende Tabelle:< ?PageNum _223

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Fuzzy-Regression
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Kurven-Fitting-Probleme stellen sich in Situationen, wo neben Fehlern in den Outputvariablen auch Fehler in den Inputvariablen auftreten. Bei der Angabe von Fehlertoleranzregionen um die Datenpunkte sind nur diejenigen (scharfen) Funktionen von Interesse, die jede dieser Regionen durchqueren. Diese Kurven-Fitting-Probleme können auch als Fuzzy-Regression formuliert werden ([2]).

Es lassen sich im wesentlichen zwei Herangehensweisen der Fuzzy-Regression unterscheiden. In beiden Fällen führt die Vorstellung einer „best-möglichen Anpassung“ der Regressionsfunktionzur Optimierung eines problemspezifischen Funktionals.

Bei Methoden der Possibilistischen Regression werden die Daten als Possibilitäts-Verteilungen interpretiert (Möglichkeitsmaß).

Ein einfaches Modell für Possibilistische Regression wurde von Tanaka u. a. entwickelt (siehe [1]):

Zu nicht-interaktiven Daten \((\mathbf{x}_{j},\tilde{Y}_{j}),j=1,\ldots,K\), mit scharfem Input xj = (xij)i ∈ ℝn und symmetrischen L-R-Fuzzy-Zahlen

\begin{eqnarray}\tilde{Y}_{j}=(y_{j},\omega_{j},\omega_{j})_{L,L}=(y_{j},\omega_{j})_{L}\end{eqnarray}

über ℝ wird das folgende lineare Modell formuliert:

\begin{eqnarray}\tilde{Y}=\tilde{A}_{1}x_{1}+\ldots+\tilde{A}_{n}x_{n}=\tilde{\mathbf{A}}^{T}\tilde{\mathbf{x}},\end{eqnarray}

wobei die Ãi = (ai, ai)L, i = 1,…,n, symmetri-sche L-R-Fuzzy-Zahlen über ℝ sind.

Um die Parameter Ãi zu bestimmen, wählen wir zunächst ein Anspruchsniveau h ∈ [0,1) aus.

Damit das Modell alle durch die Daten wieder-gebenen Möglichkeiten beschreibt (possibility regression), muß für alle Niveaus α zwischen h und 1 gelten, daß die α-Niveau-Mengen der Output-daten Teilmengen des α-Niveaus der zugehörigen Modellauswertung sind, d. h.

\begin{eqnarray}\min\qquad \sum\limits_{j=1}^{K}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{ij}\vert \alpha_{i}\vert\end{eqnarray}

unter Beachtung der Nebenbedingungen

\begin{eqnarray}D_{2}(\tilde{A},\tilde{B})=\Bigl((\underline{a}-\underline{b})^{2}+(a-b)^{2}+(\bar{a}-\bar{b})^{2}\Bigr)^{\frac{1}{2}},\end{eqnarray}

wobei eine Fuzzy-Zahl \(\tilde{C}\in\mathcal{T}\) notiert wird durch \(\tilde{C}=(\underline{c},c,\bar{c})\) mit μA(c) = 1 und die untere bzw. die obere Spannweite \(c-\underline{c}\) und \(\bar{c}-c\). \((\mathcal{T},D_{2})\) ist ein vollständiger metrischer Raum, und es gilt der folgende Projektionssatz:

Sei \(\mathcal{H}\)ein abgeschlossener Kegel in \(\mathcal{T}\). Dann gibt es für jede Fuzzy-Zahl \(\tilde{A}\in \mathcal{T}\)eine eindeutig bestimmte trianguläre Fuzzy-Zahl \(\tilde{H}_{0}\in\mathcal{H}\), so daß

\begin{eqnarray}\tilde{Y}=a+b\tilde{X}\qquad \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\ \mathrm{alle}\ a,b\in\mathbb{R}\end{eqnarray}

ist zur Modellanpassung die Summe der D2-Residuen bzw. äquivalent der quadrierten D2-Residuen zu minimieren:

\begin{eqnarray}\sum\limits_{j=1}^{K}D^{2}_{2}(\tilde{Y}_{j},a+b\tilde{X}_{j})\longrightarrow \min\limits_{a,b\in\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

Dieses Problem kann mit dem Projektionssatz in ein lineares Gleichungssystem überführt und so gelöst werden. Der Projektionssatz stellt also den Hebel dar, mit dem die Kleinste-Quadrate-Methode der klassischen Regression auf den Fuzzy-Kontext übertragen wird.

Mit der von Diamond und Kloeden vorgestellten L2-Metrik ϱ2 können die Aussagen des Projektions-satzes auf weitere Fuzzy-Mengenklassen über ℝn ausgeweitet werden. Auf \(\mathcal{T}\) (über ℝ) sind D2 und ϱ2 sogar metrisch äquivalent.

Mit der Aufnahme von Fuzzy-Zufallsvariablen in die Regressionsgleichung können auch Fehler-strukturen im Modell berücksichtigt werden.

[1] Diamond, Ph.; Tanaka, H.: Fuzzy Regression Analysis. In: Slowinski, R. (Ed.): Fuzzy Sets in Decision Analysis, Operations Research and Statistics. Kluwer Boston, 1998.
[2] Kacprzyk, J.; Fedrizzi M. (Eds.): Fuzzy Regression Analysis. Physika Heidelberg, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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