Entwicklung einer reellen Zahl.

Sei g ≥ 2 eine natürliche Zahl, dann gibt es zu jeder reellen Zahl x ≥ 0 ein k ∈ ℕ₀und eine Ziffernfolge \({{\left( {{z}_{n}}\left( x \right) \right)}_{n\ge -k}}\)mit

\begin{eqnarray}{{z}_{n}}\in {{Z}_{g}}:=\left\{ 0,...,g-1 \right\}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}x=\underset{n={{n}_{0}}}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{z}_{n}}}{{{g}^{n}}}.\end{eqnarray}

Setzt man voraus, daß unendlich viele z_n ≠ g − 1 sind, so ist die Folge (z_n) eindeutig bestimmt.

Hierbei nennt man Z_g die (kanonische) Ziffernmenge zur Grundzahl (Basis) g, und die z_n ∈ Z_g heißen Ziffern. Die Reihe in (1) konvergiert stets. Die Ziffernfolge (z_n) wird meist so geschrieben:

\begin{eqnarray}{{\left( {{z}_{-k}}...{{z}_{-1}}{{z}_{0}},\,{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}... \right)}_{g}}:=\underset{n={{n}_{0}}}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{z}_{n}}}{{{g}^{n}}};\end{eqnarray}

sie heißt g-adische Entwicklung oder Darstellung von x. Die Ziffern vor dem Komma,

\begin{eqnarray}\left( {{z}_{-k}}...\,{{z}_{-1}}{{z}_{0}} \right)={{z}_{-k}}{{g}^{k}}+...{{z}_{-1}}g+{{z}_{0}},\end{eqnarray}

bilden den ganzzahligen Anteil der dargestellten Zahl x. Die Ziffern z_n für n ≥ 1 heißen Nachkommastellen von x, sie bilden den gebrochenen Teil der reellen Zahl x. Die Ziffernfolge (z_n) heißt periodisch, wenn es ein p ∈ ℕ und ein ℓ ∈ ℕ₀ gibt derart, daß

\begin{eqnarray}\begin{array} {{z}_{j+p}}={{z}_{j}} & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text{alle}\,j>\,\ell \\ \end{array}$$?> gilt. Das kleinstmögliche solche p heißt Periodenlänge der g-adischen Entwicklung von x. Das kleinstmögliche ℓ heißt Vorperiode. Kann ℓ = 0 gewählt werden, so nennt man die Entwicklung (2) reinperiodisch; andernfalls nennt man sie gemischtperiodisch.

Die Theorie der g-adischen Entwicklungen ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert worden. Zum einen kann man andere Ziffernmengen betrachten, z. B. balancierte ternäre Entwicklung.

Es macht aber auch Sinn, negative oder sogar komplexe Zahlen als Grundzahl g zuzulassen. So kann man z. B. beweisen, daß jede komplexe Zahl eine g -adische Entwicklung für g = i − 1 mit der Ziffernmenge Z_g = {0, 1} besitzt.