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Lexikon der Mathematik: Gårding-Ungleichung

erlaubt die Abschätzung von Sobolew-Normen durch (streng) elliptische (Pseudo-)Differentialoperatoren und ermöglicht damit Regularitätsaussagen über elliptische Operatoren.

Ist T ein streng elliptischer Operator der Ordnung m, d. h. gilt für sein Hauptsymbol \[\begin{matrix} \operatorname{Re}\,{{T}_{m}}\left( x,\,\xi \right)\,\ge C\left| \xi {{|}^{m\,}} \right\rangle 0 & \left( m\,\text{gerade} \right), \\ \end{matrix}\] so gilt die folgende Gårding-Ungleichung: \[\|u\|_{m/2}^{2}\le C\left( \operatorname{Re}\mathop{\int }^{}Pu\cdot \bar{u}+\|u{{\|}^{2}} \right)\] für eine geeignete positive Konstante C und uC. Hierbei bezeichne || · || die gewöhnliche L2-Norm und || · ||s die Sobolew-s-Norm.

Allgemeiner gilt noch folgendes: Ist T ein elliptischer (Pseudo-)Differentialoperator der Ordnung m > 0, d. h. ein Operator, dessen Hauptsymbol Tm(x, ξ) außer für ξ = 0 invertierbar ist, so gibt es für alle s eine positive Konstante Cs mit \[\|u{{\|}_{s+l}}\le {{C}_{s}}\left( \|u{{\|}_{s}}+\|Tu{{\|}_{s}} \right)\] für alle uC.

Mit Hilfe der Garding-Ungleichung beweist man etwa den Regularitätssatz für elliptische Operatoren: Ist T ein elliptischer Operator der Ordnung m, definiert auf einer offenen Menge G, und gilt Tu = f, wobei f im Sobolew-Raum Hs(K) für alle K kompakt in G und u eine temperierte Distribution sein möge, so folgt, daß uHs+m(K) für alle K ⊂⊂ G. Insbesondere sind damit die Eigenfunktionen elliptischer Operatoren stets glatt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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