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Lexikon der Mathematik: Galerkin-Methode

Galerkin-Verfahren, Näherungsverfahren zur Lösung allgemeiner Operatorgleichungen der Form Lu = f mit symmetrisch positiv definitem Operator L bzgl. einer geeigneten Bilinearform (· | ·). Ziel ist die Konstruktion einer Näherung \(\overset{}{\tilde{u}}\,:=\displaystyle {\sum }_{i=0}^{N}\,{{\overset{}{\mathop{u}}\,}_{i}}{{\phi }_{i}}\) mit linear unabhängigen Ansatzfunktionen φi, die den Bedingungen

\begin{eqnarray}\langle L\overset{}{\tilde{u}}\,-f|{{\phi }_{j}}\rangle =0,\,j=1,\,2,...,N\end{eqnarray}

genügt. Mit der neuen Bilinearform \(\left[ {v}|{w} \right]:=\langle L{v}|{w}\rangle \) erhält man so ein lineares Gleichungssystem der Form \(\begin{eqnarray}A\tilde{U}=F\end{eqnarray}\) mit der sogenannten Steifig-keitsmatrix A = ([φj | φi])ij und der rechten Seite F = (⟨f | φi⟩)i für die unbekannten Koeffizienten \(\overset{}{\mathop{U}}\,={{\left( {{\overset{}{\tilde{u}}\,}_{i}} \right)}_{i}}\).

Betrachtet man die φi als endliche Teilmenge einer unendlichen Basis des entsprechenden Funktionenraumes, so berechnet die Galerkin-Methode die beste Approximation auf dem von den endlichen vielen φi aufgespannten Unterraum.

Das Galerkin-Verfahren läßt sich bei Randwert-aufgaben gewöhnlicher oder partieller Differential-gleichungen mit entsprechenden Differentialope-ratoreigenschaften anwenden. Dabei werden die Ansatzfunktionen bereits so gewählt, daß sie die Randbedingungen erfüllen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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