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Lexikon der Mathematik: Galin, Satz von

nachfolgende Aussage über gewisse Hamilton-Funktionen.

d-parametrige Scharen von quadratischen Hamilton-Funktionen im \(\begin{eqnarray}({{\mathbb{R}}}^{2n},\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}d{q}_{i}\wedge d{p}_{i})\end{eqnarray}\) der Form

\begin{eqnarray}H\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{d}} \right)=:H\left( \lambda \right)\end{eqnarray}

lassen sich als Deformationen einer quadratischen Hamilton-Funktion H0 := H(0) auffassen. Eine solche Deformation von H0 wird versal genannt, falls sich jede andere d-Parameterdeformation von H0, H′(μ1, …,μd) =: H′(μ) (mit H′(0) = H0) durch eine formale Potenzreihe φ : μλ = φ (μ) (mit φ(0) = 0) und durch eine d-parametrige Schar C(μ) linearer kanonischer Transformationen (wobei C(0) die Identitätsabbildung ist) in der Form

\begin{eqnarray}{H}{^{\prime}}( \mu)=H( \phi( \mu) )\circ C( \mu)\end{eqnarray}

beschreiben läßt. D.M.Galin stellte 1975 folgenden Satz auf:

Jede quadratische Hamilton-Funktion erlaubt eine versale Deformation, falls die Parameterzahl d folgende Minimalschranke dmin nicht unterschreitet:

\begin{eqnarray}\begin{array}{*{35}{l}} {{d}_{min }} & = & \frac{1}{2}\sum\limits_{z\ne 0}{\sum\limits_{j=1}^{s\left( z \right)}{\left( 2j-1 \right){{n}_{j}}\left( z \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{u}{\left( 2j-1 \right){{m}_{j}}}}} \\ {} & {} & +\sum\limits_{j=1}^{{v}}{\left( 2\left( 2j-1 \right){{{\tilde{m}}}_{j}}+1 \right)} \\ {} & {} & +2\sum\limits_{j=1}^{u}{\sum\limits_{k=1}^{{v}}{\min \left( {{m}_{j}},{{{\tilde{m}}}_{k}} \right),}} \\ \end{array}\end{eqnarray}

wobei für jede komplexe Zahl z ≠ 0 die natürliche Zahls(z) die Anzahl der Jordan-Blöcke zum Eigenwert z des linearen Hamilton-Feldes \({{X}_{{{H}_{0}}}}\)von H0in der Normalform angibt, die durch den Satz von Williamson definiert wird, wobei ferner n1(z) ≥ n2(z) ≥…≥ ns(z)(z) die Dimensionen der betreffenden Jordan-Blöcke bezeichnen, und wobei schließlich \({{m}_{1}}\ge {{m}_{2}}\ge \cdots \ge {{m}_{u}},\,{{\overset{}{\tilde{m}}\,}_{1}}\ge {{\overset{}{\tilde{m}}\,}_{2}}\ge \cdots \ge {{\overset{}{\tilde{m}}\,}_{{v}}}\)die Dimensionen der Jordan-Blöcke zum Eigenwert 0 anzeigen (hier sind mj gerade und mk ungerade natürliche Zahlen, und bei jedem Paar ungeradedimensionaler Blöcke wird nur je ein Block berücksichtigt).

Die Zahl dmin läßt sich geometrisch auch als Kodimension der Bahn der Gruppe der linearen symplektischen Tranformationen durch H0 interpretieren. Galins Satz erlaubt es, lineare Hamiltonsche Systeme, die von genügend vielen Kontrollparametern abhängen, auf eine ‚versale‘ Standardform zu bringen, an der sich z. B. Bifurkationen der Eigenwerte von \({{X}_{{{H}_{0}}}}\) studieren lassen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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