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Lexikon der Mathematik: Galois-Theorie

Der Ausgangspunkt der Galois-Theorie ist die Tatsache, daß eine endliche Körpererweiterung 𝕃 über 𝕂 durch Adjunktion (Körperadjunktion) von endlich vielen Nullstellen irreduzibler Polynome mit Koeffizienten aus 𝕂 erhalten werden kann, und daß die Körperautomorphismen von 𝕃 über 𝕂 die Nullstellen der einzelnen irreduziblen Polynome jeweils untereinander permutieren. Ist die Permutation bekannt, so ist der Körperautomorphismus eindeutig fixiert. Insbesondere bildet die Gruppe der Körperautomorphismen von 𝕃 über 𝕂 eine endliche Gruppe. Diese Beobachtung kann ausgebaut werden zu einer vollständigen Korrespondenz zwischen der Menge der Zwischenkörper einer Galois-Erweiterung 𝕃 von 𝕂 und den Untergruppen der Automorphismengruppe von 𝕃 über 𝕂.

Dies soll im folgenden näher erläutert werden. Eine endliche Körpererweiterung 𝕃 über 𝕂 heißt Galois-Erweiterung falls sie normal und separabel über 𝕂 ist. Die Gruppe der Automorphismen von 𝕃 über 𝕂, d. h. die Gruppe der Automorphismen 𝕃 → 𝕃, die 𝕂 elementweise festlassen, heißt Galois-Gruppe G = Gal(𝕃/𝕂) der Körpererweiterung. Jeder Untergruppe H von G kann der Fix körper \[{{\mathbb{L}}^{H}}:=\left\{ a\in \mathbb{L}|\sigma \left( a \right)=a,\,\forall \sigma \in H \right\}\] zugeordnet werden. Es handelt sich hierbei um einen Zwischenkörper von 𝕃 über 𝕂. Es gilt \[{{\mathbb{L}}^{Gal\left( \mathbb{L}/\mathbb{K} \right)}}=\mathbb{K}.\] Ist M ein Zwischenkörper, so ist 𝕃 über M ebenfalls Galoissch und die Galois-Gruppe H := Gal(𝕃/M) kann in natürlicher Weise mit der Untergruppe von G, bestehend aus den Automorphismen von 𝕃 über 𝕂, die auch M festlassen, identifiziert werden. Berechnet man den Fixkörper 𝕃H, so erhält man den Zwischenkörper M zurück.

Der Hauptsatz der Galois-Theorie besagt, daß die dadurch definierte Zuordnung eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen der Menge der Zwischenkörper von 𝕃 über 𝕂 und der Menge der Untergruppen von G = Gal(𝕃/𝕂) ist. Desweiteren ist ein Zwischenkörper M genau dann Galoissch über dem Grundkörper 𝕂, falls H = Gal(𝕃/M) eine normale Untergruppe von G ist. Die Galois-Gruppe Gal(M/𝕂) ist dann isomorph zur Faktorgruppe G/H. Dieser Hauptsatz liefert bei Kenntnis der Galois-Gruppe fundamentale Aussagen über die möglichen Zwischenkörper. Insbesondere folgt, daß eine endlichdimensionale separable Körpererweiterung nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.

Ist f ein irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper 𝕂 mit nur einfachen Nullstellen, dann ist sein Zerfällungskörper 𝕃 über 𝕂, d. h. der minimale Erweiterungskörper im algebraischen Abschluß von 𝕂, über dem f vollständig als Produkt von linearen Polynomen geschrieben werden kann, eine Galois-Erweiterung von 𝕂. Man nennt dann die Galois-Gruppe von 𝕃 auch die Galois-Gruppe des Polynoms f bzw. der Gleichung f (x) = 0.

Besitzt die Galois-Gruppe gewisse Eigenschaften (z. B. abelsch, zyklisch, oder auflösbar zu sein), so benennt man die Körpererweiterung bzw. die Gleichung ebenso.

Mit Hilfe der Galois-Theorie kann man zeigen, daß die allgemeine Gleichung vom Grad n ≥ 5 nicht durch Radikale lösbar ist (Satz von Abel). Die allgemeine Gleichung vom Grad n besitzt als Galois-Gruppe die symmetrische Gruppe Sn von n Elementen. Ist die Gleichung durch Radikale (d. h. durch mehrfaches k-tes Wurzelziehen) auflösbar, so bedeutet dies, daß es eine Abfolge von Zwischenkörpern gibt, die jeweils zyklische Erweiterungen des vorherigen Zwischenkörpers sind. Dies ist äquivalent zur Tatsache, daß der Zerfällungskörper eine auflösbare Galois-Gruppe besitzt. Die Sn ist für n ≥ 5 jedoch nicht auflösbar.

Eine weitere Anwendung der Galois-Theorie ist die Klassifizierung derjenigen geometrischen Größen in der reellen Ebene, die durch Konstruktion mit Zirkel und Lineal, ausgehend von endlich vielen Grundgrößen, erhalten werden können. Es ergibt sich, daß eine Größe x genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, falls ihre Koordinaten in einem Erweiterungskörper vom Grad 2m (m ∈ ℕ0) des durch die Koordinaten der Ausgangsgrößen definierten Grundkörpers liegen. Dies liefert die negative Aussage für das Delische Problem der Würfelverdoppelung, der Dreiteilung eines beliebigen Winkels und der Quadratur des Kreises. Darüberhinaus ergibt sich eine vollständige Übersicht über die Möglichkeit der Konstruktion der regulären n-Ecke mit Zirkel und Lineal.

Umgekehrt kann die Galois-Theorie auch benutzt werden, um algebraische bzw. geometrische Modelle für gruppentheoretische Fragestellungen zu erhalten. Mit der Frage, ob und in welcher Weise eine vorgegebene Gruppe als Galois-Gruppe eines Körpers bzw. einer Gleichung realisiert werden kann, befasst sich die inverse Galois-Theorie. Von speziellem Interesse ist der Fall der Realisierung über ℚ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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