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Lexikon der Mathematik: Gamma-Verteilung

das für die Parameter α > 0, β > 0 durch die Wahrscheinlichkeitsdichte \begin{equation} f:\mathbb{R}_{0}^{+}\ni x\rightarrow \frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}\in\mathbb{R}^{+} \end{equation} definierte Wahrscheinlichkeitsmaß. Dabei bezeichnet Γ die vollständige Γ-Funktion (Eulersche Γ-Funktion). Die zugehörige Verteilungsfunktion ist durch \begin{equation} F:\mathbb{R}_{0}^{+}\ni x\rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}\int\limits_{0}^{x}t^{\alpha-1}e^{-t/\beta}dt\in[0,\ 1] \end{equation} gegeben. Für β = 1 erhält man die sogenannte Standardform der Verteilung. Ist α < 1 und β = 1, so strebt die Dichtefunktion f, für x gegen Null, gegen Unendlich. Für α ≥ 1 und beliebiges β > 0 besitzt f einen eindeutig bestimmten Modalwert an der Stelle x = β(α − 1). Besitzt die Zufallsvariable X eine Gamma-Verteilung mit den Parametern α > 0 und β > 0, so gilt für den Erwartungswert E(X) = αβ und für die Varianz Var(X) = αβ2.

Als spezielle Gamma-Verteilungen erhält man für α = β = 1 die Exponentialverteilung zum Parameter λ = 1 und für α = n/2, β = 2 die χ2-Verteilung mit n Freiheitsgraden.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Gamma-Verteilung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dichte der Gamma-Verteilung mit den Parametern α = 2 und β = 1

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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