Ergebnis der Erweiterung der additiven Halbgruppe ℕ der natürlichen Zahlen zu einer Gruppe, sogar einem Ring, bezeichnet mit ℤ.

Ist ℕ = {1, 2, 3, …} die Menge der natürlichen Zahlen, so ist (als Menge) \begin{align} \mathbb{Z}&=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\\ &=(-\mathbb{N})\cup\{0\}\cup\mathbb{N}, \end{align} d. h., eine ganze Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder das Negative einer natürlichen Zahl oder gleich Null.

Meist definiert man ℤ als die Differenzengruppe zu ℕ, d. h. als Menge der Äquivalenzklassen bzgl. der durch \begin{equation} (k, \ell)\sim (m, n):\Longleftrightarrow k+n=m+\ell \end{equation} auf den Paaren ℕ × ℕ erklärten Äquivalenzrelation.

Für m, n ∈ ℕ sei ⟨m, n⟩ die Äquivalenzklasse von (m, n) bzgl. ~. Für (k₁ℓ₁) ~ (k₂, ℓ₂) und (m₁, n₁) ~ (m₂, n₂) gilt \begin{equation} (k_{1}+m_{1},\ell_{1}+n_{1})\sim (k_{2}+m_{2},\ell_{2}+n_{2}), \end{equation} d. h. die Definition \begin{equation} \langle k, \ell\rangle+\langle m, n\rangle:=\langle k+m, \ell+n\rangle \end{equation} ist sinnvoll. Mit der Null 0 := ⟨1, 1⟩ und der durch − ⟨m, n⟩ := ⟨n, m⟩ gegebenen Inversenoperation ist (ℤ, +, 0) eine Gruppe. Die Abbildung \begin{equation} \phi:\mathbb{N}\ni n\mapsto \langle n+1, 1\rangle\in\mathbb{Z} \end{equation} bettet die Halbgruppe ℕ in die Gruppe ℤ ein, wobei \begin{align} \mathbb{Z}&=-\mathbb{N}\uplus\{0\}\uplus\mathbb{N}\\ &=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}. \end{align} Mit ℕ ist auch ℤ abzählbar. Für (k₁, ℓ₁) ~ (k₂, ℓ₂) und (m₁, n₁) ~ (m₂, n₂) gilt \begin{align}&(k_{1}m_{1}+\ell_{1}n_{1},k_{1}n_{1}+\ell_{1}m_{1})\\&\quad \sim(k_{2}m_{2}+\ell_{2}n_{2},k_{2}n_{2}+\ell_{2}m_{2}).\end{align} d. h. die Definition \begin{equation} \langle k, \ell\rangle\cdot\langle m, n\rangle :=\langle km+\ell n, kn+\ell m\rangle \end{equation} ist sinnvoll. Die Multiplikation · : ℤ × ℤ → ℤ macht ℤ zu einem Integritätsring mit der Eins 1, nämlich dem kleinsten ℕ umfassenden Integritätsring, d. h. jeder ℕ umfassende Integritätsring besitzt einen zu ℤ isomorphen Unterring. φ bettet den Halbring ℕ in den Ring ℤ ein. Die Ordnung von ℕ wird durch a < b : ⇔ b − a ∈ ℕ für a, b ∈ ℤ zu einer Ordnung auf ℤ fortgesetzt. Damit ist ℤ ein geordneter Integritätsring und ℕ = {a ∈ ℤ : a > 0}.

ℤ ist kein Körper, denn es gibt z. B. kein multipli-katives Inverses zu 2, d. h. kein x ∈ ℤ mit 2 · x = 1. Die minimale Erweiterung von ℤ zu einem Körper führt zu den rationalen Zahlen. Dort existiert das gesuchte x, nämlich \(x=\frac{1}{2}\).