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Lexikon der Mathematik: ganzrationale Funktion

reelle Funktion, die als Polynom darstellbar ist, also eine Funktion f : ℝ → ℝ, die sich in der Gestalt

\begin{eqnarray}F(x)\, = \,\mathop {\mathop \sum \limits^n }\limits_{k = 0} \frac{{{a_k}}}{{k + 1}}{x^{k + 1}}\, + \,c\end{eqnarray}

mit beliebigem c ∈ ℝ, also ganzrationale Funktionen mit einem um 1 höheren Grad.

Die Anzahl der (entsprechend Vielfachheiten gezählten) reellen Nullstellen von f ist genau dann gerade, wenn n gerade ist. Insbesondere hat f bei ungeradem n mindestens eine reelle Nullstelle. Polynomdivision zeigt, daß f höchstens n Nullstellen, höchstens n − 1 Extremstellen und höchstens n − 2 Wendestellen hat.

γ1, …, γk ∈ ℝ sind genau dann sämtliche (entsprechend Vielfachheiten angegebenen) reellen Nullstellen von f, wenn f(x) = (xγ1) ··· (x −; γk) g(x) gilt mit einer nullstellenfreien ganzrationalen Funktion g vom Grad nk.

Das Verhalten von f(x) für x → ±∞ ist wie folgt: \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\quad\infty, & {a}_{n}\gt 0\\ -\infty, & {a}_{n}\lt 0,\end{array}\right.\\ \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to -\infty }f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\quad\infty, & n\,\text{gerade},{a}_{n}\gt 0\\ -\infty, & n\,\text{gerade},{a}_{n}\lt 0\\ -\infty, & n\,\text{ungerade},{a}_{n}\gt 0\\ \quad\infty, & n\,\text{ungerade},{a}_{n}\lt 0.\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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