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Lexikon der Mathematik: Garbe von Homomorphismen

fundamentaler Begriff in der Garbentheorie.

Seien \(\mathcal{F}\) und \(\mathcal{F}\) zwei Garben von \(\mathcal{O}\)X-Moduln über der quasiprojektiven Varietät X. Dabei bezeichne \(\mathcal{O}\)X die Strukturgarbe von X. \(\mathcal{O}\) (X) bezeichne den Ring (oder die ℂ-Algebra) der regulären Funktionen auf X. Man definiert Hom\(\mathcal{O}\)X (\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)) als die Menge der Homomorphismen von \(\mathcal{F}\) nach \(\mathcal{G}\). Jeder Garbenhomomorphismus h : \(\mathcal{F}\) → \(\mathcal{G}\) ist nach Definition gegeben als eine Kollektion \begin{eqnarray}\{{h}_{U}:{\text{Hom}}_{{\mathscr{O}}(U)}( {\mathcal F} (U),{\mathscr{G}}(U))|U\subseteq X\,\,\text{offen}\}.\end{eqnarray} Deshalb kann man in \(\text{Ho}{{\text{m}}_{{{\mathcal{O}}_{X}}}}\left( \mathcal{F},\mathcal{G} \right)\) offenbar eine Addition und eine Skalarenmultiplikation definieren durch \[\begin{array}{*{35}{l}} {{\left( h+g \right)}_{U}}:={{h}_{U}}+{{g}_{U}}\,\text{und} \\ {{\left( fh \right)}_{U}}:=\left( f|U \right){{h}_{U}}\left( U\subseteq X\,\text{offen} \right), \\ \end{array}\] wobei \(\mathcal{F}\)nach \(\mathcal{G}\).

Durch die Vorschrift \[\begin{array}{*{35}{l}} U\mapsto \text{Ho}{{\text{m}}_{{{\mathcal{O}}_{U}}}}\left( \mathcal{F}|U,\,\mathcal{G}|U \right),\,\left( U\subseteq X\,\text{offen} \right), \\ \varrho _{V}^{U}:\,Ho{{m}_{{{\mathcal{O}}_{U}}}}\left( \mathcal{F}|U,\,\mathcal{G}|U \right)\xrightarrow{\cdot |V}\,Ho{{m}_{{{\mathcal{O}}_{V}}}}\left( \mathcal{F}|V,\,\mathcal{G}|V \right),\left( V\subseteq U\subseteq X\,\text{offen} \right), \\ \end{array}\] wd offenbar eine Prägarbe Hom (\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)) von \(\mathcal{O}\)X-Moduln definiert.

Diese Prägarbe besitzt sogar die Verklebungs- eigenschaft, ist also eine Garbe. Man nennt Hom (\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)) die Garbe der Homomorphismen von \(\mathcal{F}\) nach \(\mathcal{G}\). Es ist also \[Hom\left( \mathcal{F},\mathcal{G} \right)\left( U \right)=Ho{{m}_{{{\mathcal{O}}_{U}}}}\left( \mathcal{F}\left| U,\,\mathcal{G} \right|U \right).\]

[1] Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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