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Lexikon der Mathematik: Garbe

grundlegender Begriff der Garbentheorie.

Wir geben hier eine allgemeine Definition, nicht ausgehend von einer Prägarbe. Die meisten Garben, die in der Analysis vorkommen, werden ausgehend von Prägarben konstruiert; diese Konstruktion ist zu finden unter dem Stichwort Garbentheorie.

Eine Garbe von abelschen Gruppen über einem topologischen Raum D ist ein topologischer Raum \(\mathcal{S}\), zusammen mit einer Abbildung π : \(\mathcal{S}\) → D, so daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • die Abbildung π ist ein lokaler Homöomorphismus;
  • für jeden Punkt zD besitzt die Menge \(\mathcal{S}\).
  • Für die Definition von Garben von Ringen oder anderen algebraischen Strukturen müssen die offensichtlichen Modifikationen gemacht werden (Garbentheorie).

    Bedingung (i) bedeutet, daß es zu jedem Punkt \(\mathcal{S}\) gibt, so daß die Einschränkung der Abbildung π auf F ein Homöomorphismus (π | F) : F → π (F) = U ist, wobei UD eine offene Menge ist. Jeder Punkt zU ist dann das Bild eines eindeutig bestimmten Punktes fzF unter der Abbildung π, und die inverse Abbildung (π | F)−1 : UF, die jeden Punkt zU auf fz abbildet, ist ein Homöomorphismus \(\mathcal{S}\) über U, wenn π оf : UU die identische Abbildung ist. Die lokalen Inversen der Abbildung π, wie oben konstruiert, sind Schnitte der Garbe \(\mathcal{S}\). Offensichtlich geht durch jeden Punkt s ∈ \(\mathcal{S}\) mindestens ein Schnitt der Garbe über einer offenen Umgebung von π (s) ∈ D. Da π ein lokaler Homöomorphismus ist, müssen zwei beliebige Schnitte f, g, die in einer offenen Umgebung eines Punktes zD definiert sind und in z denselben Wert haben, in einer offenen Umgebung von z übereinstimmen. Denn beide Schnitte sind notwendig Inverse der Einschränkung von π in einer genügend kleinen Umgebung des Punktes \(\mathcal{S}\) über einer offenen Umgebung UD wird bezeichnet mit \(\mathcal{S}\) genannt. Für jeden Punkt zD heißt \(\mathcal{S}\) × \(\mathcal{S}\) sei

    \begin{eqnarray}S\circ S:=\left\{ \left( {{s}_{1}},{{s}_{2}} \right)\in S\times S|\pi \left( {{s}_{1}} \right)=\pi \left( {{s}_{2}} \right) \right\}.\end{eqnarray}

    Dann ist die Abbildung z ↦ (fz, gz) eine stetige Abbildung von U nach \(\mathcal{S}\)○\(\mathcal{S}\), und auch z ↦ (fzgz) ∈ \(\mathcal{S}\) ist eine stetige Abbildung. Daher ist fg ein Schnitt über U, und die Menge \(\mathcal{S}\)z.

    [1] Gunning, R.; Rossi, H.: Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, N.J., 1965.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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