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Lexikon der Mathematik: Garbenmorphismus

stetige, halmtreue Abbildung zwischen Garben über demselben topologischen Raum.

Seien \(\mathcal{S}\) und \(\mathcal{T}\) zwei Garben über demselben Basisraum D (ein topologischer Raum) mit den Projektionsabbildungen σ : \(\mathcal{S}\) → \(\mathcal{S}\) und τ : \(\mathcal{T}\) → \(\mathcal{D}\). Ein Garbenmorphismus φ : \(\mathcal{S}\) → \(\mathcal{T}\) ist eine stetige Abbildung vom topologischen Raum \(\mathcal{S}\) in den topologischen Raum \(\mathcal{T}\) so, daß τ ∘ φ = σ. Für jeden Punkt zD gilt φ(Sz) ⊂ Tz, d. h. ein Garbenmorphismus erhält die Halme der Garben (ist „halmtreu”). Für einen Schnitt f ∈ Γ(U, \(\mathcal{S}\)) über einer offenen Menge UD ist φf eine stetige Abbildung von U nach T so, daß \[\tau \circ \left( \varphi \circ f \right)=\sigma \circ f=Id.\] Daher ist φ ○ f ∈ Γ (U, \(\mathcal{T}\)). Die Mengen f(U) ⊂ \(\mathcal{S}\) und (φf ) (U) ⊂ \(\mathcal{T}\) sind beide offen, also ist φ eine offene, stetige Abbildung. Ein Garbenhomomorphismus ist ein Garbenmorphismus, der ein Homomorphismus zwischen den algebraischen Strukturen auf den Halmen der Garben ist. Z.B. ist ein Garbenhomomorphismus zwischen zwei Garben von abel- schen Gruppen ein Garbenmorphismus φ : \(\mathcal{S}\) → T, so daß für jeden Punkt zD die induzierte Abbildung φ : SzTz ein Gruppenhomomorphismus ist. Ein Garbenisomorphismus ist ein Garben- morphismus, der ein Homomorphismus zwischen den Garbenräumen ist und ein Isomorphismus zwischen den algebraischen Strukturen auf den Halmen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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