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Lexikon der Mathematik: Gauß-Abbildung

die Abbildung \( {\frak n}: {\mathcal F} \to {S}^{2}\) einer Fläche \( {\mathcal F} \subset \space {{\mathbb{R}}}^{3}\), die jedem Punkt x den Einheitsnormalenvektor von im Punkt x zuordnet, der als Punkt der zweidimensionalen Sphäre S2 ⊂ ℝ3 vom Radius 1 angesehen wird.

Diese Gauß-Abbildung enthält alle lokalen Informationen über die Krümmungseigenschaften von . Ihre Ableitung bezüglich irgendwelcher Flächenparameter ist die Weingartenabbildung von . Die Bildmenge \({\mathfrak{n}}\text{(}G\text{)}\) einer Teilmenge G heißt sphärisches Bild von G.

In Verallgemeinerung dieser Begriffsbildung versteht man unter der Gauß-Abbildung auch ein Beispiel einer Lagrange-Abbildung, bei der jedem Punkt einer gegebenen orientierten Hyperfläche im ℝn (n ≥ 2) der Einheitsnormalenvektor an diesem Punkt zugeordnet wird.

Die Hyperfläche zusammen mit ihren Einheitsnormalen wird hierbei als Lagrangesche Untermannigfaltigkeit des Totalraums des Gaußschen Faserbündels aufgefaßt. Die Kaustiken der Gauß-Abbildung bestehen aus der Menge aller Normalenvektoren auf denjenigen Punkten der Hyperfläche, an denen die zweite Fundamentalform entartet, an denen also beispielsweise im Fall n = 3 mindestens eine der Hauptkrümmungen verschwindet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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