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Lexikon der Mathematik: Gauß, Carl Friedrich

deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker, geb.30.4.1777 Braunschweig, gest. 23.2.1855 Göttingen.

Gauß stammte aus einfachsten kleinbürgerlichen Verhältnissen. Der Vater war in verschiedenen Berufen tätig, so als Gärtner und als Kassierer einer Versicherung. Die mathematische Begabung Gauß’ zeigte sich sehr früh. Bereits als Kleinkind soll er rechnen gekonnt haben. In der Elementarschule fand er um 1786/87 selbständig die Summenformel der arithmetischen Reihe. Diese Tatsache und andere mathematische Leistungen machten Johann Martin Christian Bartels (1769-1836), der als Hilfslehrer an der Volksschule in Braunschweig tätig war, auf Gauß aufmerksam. Bartels, der später selbst ein bedeutender Gelehrter wurde, förderte Gauß tatkräftig. Seit 1788 auf einem Gymnasium, wurde Gauß 1791 dem Herzog von Braunschweig vorgestellt, der fortan die finanzielle Sicherung seiner Ausbildung übernahm.

Bereits als Gymnasiast beschäftigte sich Gauß mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel (ab 1791), fand den Primzahlsatz (1792), nach dem die Anzahl der Primzahlen unterhalb n asymptotisch gleich n/(ln n) ist, und hielt das Parallelenaxiom für unabhängig von den anderen Axiomen der euklidischen Geometrie. Gauß entdeckte die Theta- Reihen und wandte bei Ausgleichsrechnungen die Methode der kleinsten Quadrate an.

Von 1795 bis 1798 studierte er in Göttingen Mathematik und Philologie. Im Jahre 1796 entschied sich Gauß endgültig für die Mathematik, als er am 30. Mai entdeckte, welche regelmäßigen n-Ecke mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Die Anwendung des allgemeinen Satzes und die tatsächlich vorgeführte Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks war eine wissenschaftliche Sensation, ohne daß den zeitgenössischen Gelehrten die fundamentale Bedeutung der Gaußschen Entdeckung für die Entwicklung der Algebra (Kreisteilungstheorie, Galois-Theorie) gleich bewußt wurde.

Im Jahre 1799 promovierte Gauß in Helmstedt „in absentia” bei Johann Friedrich Pfaff (17651825) mit dem ersten korrekten Beweis des Fundamentalsatzes der klassischen Algebra. Später (1815, 1816, 1849) veröffentlichte er noch drei weitere Beweise. Im Beweis von 1816 benutzte er explizit komplexe Zahlen.„Nebenbei” schrieb er 1796-98 sein erstes Buch, die „Disquisitiones arithmeticae”, das die Theorie der Kongruenzen, der quadratischen Formen und der Kreisteilung enthielt. Das Buch begründete die Zahlentheorie als Wissenschaft. In einem zweiten geplanten Band wollte Gauß das in den „Disquisitiones …” mehrfach bewiesene quadratische Reziprozitätsgesetz verallgemeinern. Dazu kam es aus Zeitmangel nicht, nur das Reziprozitätsgesetz der vierten Potenzreste gab er gelegentlich an. Dabei benutzte Gauß die Zahlentheorie der ganzen komplexen Zahlen und führte die Gaußsche Zahlenebene zur geometrischen Darstellung aller komplexen Zahlen ein (1831). Die „Disquisitiones …” erschienen erst 1801 und machten ihn als Gelehrten weltbekannt. Populär berühmt wurde er, als es nach seinen Berechnungen gelang, den ersten kleinen Planeten Ceres, der nach wenigen Beobachtungen verlorengegangen war, wieder aufzufinden (1801). Seine Methoden der Bahnbestimmung und der Berechnung der Bahnstörungen faßte er dann 1809 in dem Buch „Theoria motus corporum co- elestium” zusammen, dem Fundamentalwerk der rechnenden Astronomie. Bis zum Jahre 1806 hatte Gauß seine finanziellen Bedürfnisse aus Zuwendungen des Herzogs von Braunschweig bestritten. Erst nach dessen Tod übernahm er 1807 die Professur für Astronomie in Göttingen und die Direktion der dortigen Sternwarte.

Bereits als Student war Gauß 1799 zur trigonometrischen Vermessung von Westfalen konsultiert worden. 1818 wurde er nun beauftragt, das Königreich Hannover zu vermessen. Selbst über viele Jahre im Felde tätig, einen Großteil der äußerst aufwendigen Rechnungen selbst durchführend, fand er noch Zeit, das Problem der Vermessung einer „krummen” Fläche theoretisch zu durchleuchten. Er entwickelte die Theorie der konformen Abbildung (um 1820) und die Theorie der „inneren Geometrie” einer Fläche. Im Jahre 1827 erschienen zusammenfassend seine Untersuchungen: „Disquisi- tiones generales circa superficies curvas”. In diesem Buch findet sich u. a. das „theorema egre- gium” und der Gauß-Bonnetsche Integralsatz. Das Werk wurde grundlegend für die Differentialgeometrie. Die „Untersuchungenüber Gegenstände der höheren Geodäsie” (1844, 1847) begründeten die moderne Geodäsie. Eng mit seinen Interessen für Geodäsie und Astronomie hingen Gauß’ potentialtheoretische Untersuchungen zusammen. Bereits 1813 die Lösung eines speziellen Problems angebend, veröffentlichte er 1839 seine „Allgemeine(n) Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernungen wirkenden Anziehungs-und Abstoßungskräfte”, die die neuere Potentialtheorie entscheidend förderten. Gleichfalls eng mit diesen Interessen verbunden waren die Gaußschen Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (Theorie der Beobachtungsfehler, Gaußsche Fehlerfunktion, aber auch Anwendungen auf eigenen Börsenspekulationen und die Reorganisation der Göttinger Witwenkasse). Seit 1831 wirkte der Physiker Wilhelm Weber (1804-1891) in Göttingen. Mit Gauß zusammen begann er ein internationales Netz zur Messung des Erdmagnetismus aufzubauen. Ergebnisse ihrer fruchtbaren Zusammenarbeit waren das absolute physikalische Maßsystem (1832) und der Bau des ersten elektrischen Telegraphen (1832/33). Gauß legte zudem 1838/39 die „Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus” mit einer Berechnung der Lage der magnetischen Erdpole vor.

Mit diesen vielfältigen Arbeiten auf den verschiedensten Gebieten war die Gaußsche Schaffenskraft noch nicht erschöpft. Es gibt von ihm noch Untersuchungen über das „Prinzip des kleinsten Zwanges”, zur Optik (Ausgleichung von Objektivfehlern, Doppelobjektive), zur Anwendung der Telegraphie im Eisenbahnwesen und zur Analysis (Lemniskate, Konvergenzbegriff, hypergeometrische Reihe 1813, Hauptsatz der Funktionentheorie 1811). Über viele dieser Forschungen hat er kaum oder nur wenig publiziert. Nur aus seinem Tagebuch, aus dem Nachlaß und vor allem aus Briefen an vertraute Freunde wissen wir von diesen grundlegenden Untersuchungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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