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Lexikon der Mathematik: Gauß, Gleichung von

eine Beziehung zwischen dem Riemannschen Krümmungstensor einer isometrisch eingebetteten Untermannigfaltigkeit, ihrer Weingartenabbildung, und dem Riemannschen Krümmungstensor der sie umgebenden Riemannschen Mannigfaltigkeit.

Es sei \(\tilde{M}\) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n + m und \(M\subset \tilde{M}\) eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 2. Wir setzen voraus, daß die Riemannsche Metrik g von M in allen Punkten xM gleich der Einschränkung der Riemannschen Metrik \(\tilde{g}\) von \(\tilde{M}\) auf den Tangentialraum \({{T}_{x}}(M)\subset {{T}_{x}}(\tilde{M})\)ist. Es seien ∇ und \(\tilde{\nabla }\) die Levi-Civita-Zusammenhänge, und R und \(\tilde{R}\) die Riemannschen Krümmungstensoren von M bzw.\(\tilde{M}\).

Die Gleichung von Gauß drückt die Differenz \(\tilde{R}-R\) durch die zweite Fundamentalform von M bezüglich der Einbettung in \(\tilde{M}\)aus, die wie folgt definiert ist:

Der Normalraum \({{N}_{x}}(M)\subset {{T}_{x}}(\tilde{M})\) ist das orthogonale Komplement von Tx(M). Zunächst definiert man die Weingartenabbildung als bilineare Abbildung \[S:{{T}_{x}}(M)\times {{N}_{x}}(M)\to {{T}_{x}}(M)\] durch die Formel \(\mathfrak{n}\in {{T}_{x}}(\tilde{M})\) bezeichnet. Die zweite Fundamentalform ln von M ist durch die Gleichung \(\mathfrak{n}\text{ }\in {{N}_{x}}(M)\) eine symmetrische Bilinearform \(\mathfrak{u},\mathfrak{o},\mathfrak{w}\in {{T}_{x}}(M)\)\begin{eqnarray}\tilde{g}(R({\mathfrak{u}},{\mathfrak{v}}){\mathfrak{w}},{\mathfrak{z}})-\tilde{g}(\tilde{R}({\mathfrak{u}},{\mathfrak{v}}){\mathfrak{w}},{\mathfrak{z}})=\displaystyle \sum _{\mu =1}^{m}({l}_{\mu }({\mathfrak{v}},{\mathfrak{w}})l\mu ({\mathfrak{u}},{\mathfrak{z}})-{l}_{\mu }({\mathfrak{u}},{\mathfrak{w}}){l}_{\mu }({\mathfrak{v}},{\mathfrak{z}})),\end{eqnarray}wobei abkürzend \({{l}_{{{\mathfrak{n}}_{\mu }}}}={{l}_{\mu }}\)gesetzt wurde.

Der besondere Beitrag von Gauß ist die Spezialisierung dieses Satzes auf die Theorie der Flächen im ℝ3 und besteht in der Entdeckung, daß sich der Krümmungstensor \(R_{ijk}^{s}\) einer Fläche \begin{eqnarray} {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\end{eqnarray} durch die Koeffizienten Lij der zweiten Gaußschen Fundamentalform ausdrücken läßt: \begin{eqnarray}{R}_{ijk}^{s}=\mathop{\sum ^{2}}\limits_{l=1}({L}_{ij}{L}_{kl}-{L}_{ik}{L}_{jl}){g}^{ls}.\end{eqnarray} Hierin ist Lij die Matrix der zweiten Fundamentalform und gls die inverse Matrix der ersten Fundamentalform in bezug auf eine Parameterdarstellung von \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}\end{eqnarray}.

Das theorema egregium ist eine unmittelbare Folgerung aus diesen Gleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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