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Lexikon der Mathematik: Gauß, Integralsatz von

gelegentlich auch Divergenzsatz oder auch nach Ostrogradski oder Green benannt, wichtiger Spezialfall des allgemeinen Satzes von Stokes der Vektoranalysis

\begin{eqnarray}\underset{\mathfrak{G}}{\mathop \int }\,d\omega =\underset{\partial \mathfrak{G}}{\mathop \int }\,\omega.\end{eqnarray}

Während der Gaußsche Satz sich nur auf die „maximale” Dimension bezieht, werden beim Satz von Stokes allgemeiner und in einem wesentlich allgemeineren Rahmen (Cartan-Kalkül) alle „Zwischendimensionen” mit erfaßt.

Für n ∈ ℕ besagt der Integralsatz von Gauß: \begin{eqnarray}\mathop{\displaystyle \int }\limits_{{\mathfrak{G}}}divfd{\mathfrak{x}}=\mathop{\displaystyle \int }\limits_{{\mathfrak{G}}}(\nabla. f)d{\mathfrak{x}}=\mathop{\displaystyle \int }\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}f.{\mathfrak{n}}\,do.\end{eqnarray} Hierbei seien \(\mathfrak{G}\) ein n-dimensionaler Gauß-Bereich, f eine auf \(\mathfrak{G}\) und seinem Rand \(\partial \mathfrak{G}\) stetig differenzierbare Differentialform (n − 1)-ten Grades (Vektorfeld), \(\mathfrak{G}\) des ℝn bezeichnet, für die die o. a. Formel für alle solchen f gilt. Welche Bereiche in diesem Sinne zulässig sind, hängt stark von den bereitgestellten Hilfsmitteln und dem benutzten Integralbegriff (etwa Riemann- oder – besser – Lebes- gue-Integral) ab. Dazu gehören etwa: Mengen \(\mathfrak{G}\) im ℝn, die bezüglich aller Koordinatenebenen Normalbereiche sind und eine stückweise glatte Randkurve \(\mathfrak{G}\) und f, von denen der Beweisaufwand ganz wesentlich abhängt, dabei vorweg die Einführung des Flächenbegriffs mit Flächeninhalt und Flächenintegral und dazu die Bereitstellung eines geeigneten Integralbegriffs (Riemann- oder – besser – Lebesgue-Integral). Ist \(\partial \mathfrak{G}\) stückweise glatt, also aus endlich vielen Flächenstücken mit stetig differenzierbarer Parameterdarstellung zusammengesetzt, dann existiert der Normalenvektor \(f:u\nabla v\,\,\,\,{\text{bzw}}.\,\,\,f: = u\nabla v – v\nabla u\end{eqnarray}

ergeben sich leicht die Greenschen Integralformeln.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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