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Lexikon der Mathematik: Gauß-Jordan-Verfahren

direktes Verfahren zur Berechnung der Inversen A−1 einer nichtsingulären Matrix A ∈ ℝn×n.

Dazu löst man die Gleichungssysteme Axk = ek mit der rechten Seite \({e}_{1}^{T}\space =\space (1,\space 0, \ldots,\space 0)\), \({e}_{2}^{T}\space =\space (0,1,\space 0, \ldots,\space 0),\space \ldots \), \({e}_{n}^{T}\space =\space (0,\space \ldots,\space 0,\space 1)\space \) mit dem Gaußschen Algorithmus und setzt die Inverse A−1 aus den Lösungsvektoren xk, k = 1,…, n als Spaltenvektoren zusammen.

Typischerweise führt man das Lösen der n Gleichungssysteme in einem Schritt durch, indem man statt der Matrizen (A ek) hier die Matrix (A I) betrachtet, wobei I = (e1, e2,…,en) die Einheitsmatrix sei. Nun geht man zunächst wie beim Gauß-Verfahren vor und transformiert A in eine obere Dreiecksmatrix R. Dabei wendet man alle Transformationen auch auf I an. Man erhält (R X).

Anschließend eliminiert man nun noch die oberhalb der Diagonale stehenden Elemente von R durch Addition geeigneter Vielfacher der darunterstehenden Zeilen (spaltenweise von rechts nach links). Dadurch erreicht man Diagonalgestalt \begin{eqnarray}D=\left(\begin{array}{llll}{d}_{11} & & & \\ & {d}_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & {d}_{nn}\end{array}\right).\end{eqnarray}

Wieder wendet man alle Transformationen auch auf X an und erhält so (D A−1). Multipliziert man nun mit der Inversen von D (d. h. dividiert man die j-te Zeile durch djj), so erhält man (I A−1).

Die Berechnung der Inversen einer Matrix ist in der Praxis eine eher seltene Aufgabe. Die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist zwar durch x = A−1b gegeben, wird aber besser mittels des Gauß-Verfahrens berechnet, da dies weniger Rechenzeit beansprucht und numerisch günstiger ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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