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Lexikon der Mathematik: Gauß-Prozeß

auch Gaußscher Prozeß, ein auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) definierter reellwertiger stochastischer Prozeß (Xt)tI mit der Eigenschaft, daß jede seiner endlichdimensionalen Verteilungen eine (multivariate) Normalverteilung ist. Die Parametermenge I ist dabei ein Intervall von ℝ. Die Abbildung \begin{eqnarray}m:I\ni t\to E({X}_{t})\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray} bezeichnet man als Erwartungsfunktion, und die Abbildung \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}:I\times I\ni (s,\space \space t)\to Cov({X}_{s},{X}_{t})\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray} als Kovarianzfunktion des Gauß-Prozesses. Gilt m ≡ 0, so heißt der Prozeß zentriert. Ein Gauß-Prozeß ist durch die Angabe der Erwartungsfunktion m und der Kovarianzfunktion Γ bis auf Äquivalenz eindeutig festgelegt.

Ein Beispiel für einen zentrierten Gauß-Prozeß stellt eine normale eindimensionale Brownsche Bewegung dar. Für ihre Kovarianzfunktion gilt Γ(s, t) = min(s, t) für alle s, t ≥ 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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