Verfahren zur numerischen Integration (Quadratur) von Funktionen unter Verwendung optimaler Stützstellen.

Ist [a, b] ein reelles Intervall und ω eine auf [a, b] stetige und bis auf endlich viele Ausnahmestellen positive Funktion, so sucht man nach Näherungsformeln der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\gamma }_{ni}f({x}_{ni}) \end{array}\end{eqnarray} zur Berechnung des Riemannschen Integrals \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x)f(x)dx.\end{eqnarray}

Man kann zeigen, daß es keine Formel des in (1) angegebenen Typs gibt, die alle Polynome f vom Grad 2n exakt integriert. Für Polynome vom Grad 2n − 1 gibt es genau eine Möglichkeit: Man wähle die x_ni als die Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms zum Skalarprodukt \begin{eqnarray}\lt f,g\gt \space =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x)f(x)g(x)dx,\end{eqnarray} und setze, für i = 1,…,n, \begin{eqnarray}{\gamma }_{ni}=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x){L}_{i}^{n-1}(x)dx\end{eqnarray} mit dem Lagrange-Polynom \({L}_{i}^{n-1}\) zu den Punkten x_n1, …, x_nn.

In diesem Fall bezeichnet man die Formel (1) als Gaußsche Quadraturformel. Zusätzlich zu ihrer Optimalität zeichnet sie sich dadurch aus, daß ihre Koeffizienten γ_ni alle positiv sind, was eine hohe numerische Stabilität impliziert.

Für einige Wahlen der Gewichtsfunktion ω und des Intervalls [a, b] ergeben sich Gaußsche Quadraturformeln, die man auch aus historischen Gründen speziell bezeichnet (Gauß-Laguerresche Quadraturformel, Gauß-Legendresche Quadraturformel, Gauß-Tschebyschewsche Quadraturformel).

[1] Hämmerlin, G.; Hoffmann, K.-H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin, 1989.
[2] Schaback, R.; Werner. H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin, 1992.
[3] Stoer, J.: Einführung in die Numerische Mathematik I. Springer-Verlag Berlin, 1979.