Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Gauß-Quadratur

Verfahren zur numerischen Integration (Quadratur) von Funktionen unter Verwendung optimaler Stützstellen.

Ist [a, b] ein reelles Intervall und ω eine auf [a, b] stetige und bis auf endlich viele Ausnahmestellen positive Funktion, so sucht man nach Näherungsformeln der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\gamma }_{ni}f({x}_{ni}) \end{array}\end{eqnarray} zur Berechnung des Riemannschen Integrals \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x)f(x)dx.\end{eqnarray}

Man kann zeigen, daß es keine Formel des in (1) angegebenen Typs gibt, die alle Polynome f vom Grad 2n exakt integriert. Für Polynome vom Grad 2n − 1 gibt es genau eine Möglichkeit: Man wähle die xni als die Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms zum Skalarprodukt \begin{eqnarray}\lt f,g\gt \space =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x)f(x)g(x)dx,\end{eqnarray} und setze, für i = 1,…,n, \begin{eqnarray}{\gamma }_{ni}=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x){L}_{i}^{n-1}(x)dx\end{eqnarray} mit dem Lagrange-Polynom \({L}_{i}^{n-1}\) zu den Punkten xn1, …, xnn.

In diesem Fall bezeichnet man die Formel (1) als Gaußsche Quadraturformel. Zusätzlich zu ihrer Optimalität zeichnet sie sich dadurch aus, daß ihre Koeffizienten γni alle positiv sind, was eine hohe numerische Stabilität impliziert.

Für einige Wahlen der Gewichtsfunktion ω und des Intervalls [a, b] ergeben sich Gaußsche Quadraturformeln, die man auch aus historischen Gründen speziell bezeichnet (Gauß-Laguerresche Quadraturformel, Gauß-Legendresche Quadraturformel, Gauß-Tschebyschewsche Quadraturformel).

[1] Hämmerlin, G.; Hoffmann, K.-H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin, 1989.
[2] Schaback, R.; Werner. H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin, 1992.
[3] Stoer, J.: Einführung in die Numerische Mathematik I. Springer-Verlag Berlin, 1979.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos