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Lexikon der Mathematik: Gauß, Satz von, über n-Ecke

Satz über die Konstruierbarkeit regulärer Polygone (regelmäßiger n-Ecke):

Ein reguläres Polygon kann genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn die Anzahl seiner Seiten 2m · p1 · p2 .…. pk (mit m ∈ ℕ) beträgt, wobei p1pk voneinander verschiedene Primzahlen der Form \begin{eqnarray}{p}_{i}={2}^{2^{\varsigma} }+1\end{eqnarray} (mit ς ∈ ℕ, ς ≥ 1) sind.

Als Primzahlen, die sich in der Form \({p}_{i\space }=\space {2}^{{2}^{\varsigma }}+\space 1\) darstellen lassen, sind 3, 5, 17, 257 und 65537 bekannt. Somit ist es möglich, regelmäßige n-Ecke mit 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, … Seiten mit Zirkel und Lineal zu konstruieren, die derartige Konstruktion regelmäßiger n-Ecke mit 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, … Seiten ist nicht möglich.

Das Problem der Konstruktion eines regelmäßigen n-Ecks ist gleichbedeutend mit der Teilung eines Kreises in n kongruente Teile.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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