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Lexikon der Mathematik: Gauß-Stokes, Satz von

oft auch als „allgemeine Version des Integralsatzes von Stokes“ oder ähnlich zitiert, zentraler Satz der Vektoranalysis, der in einem sehr allgemeinen Rahmen (Cartan-Kalkül) eine einheitliche und elegante Darstellung „aller“ Integralsätze, speziell der klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes, enthält.

All diese Sätze knüpfen an den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung an, nach dem für eine stetige Funktion f auf einem kompakten Intervall [a, b] das Integral \(\displaystyle {\int }_{a}^{b}f(x)\)dx als Differenz der Werte einer Stammfunktion an den Intervallenden berechnet werden kann. Der Satz besagt: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}d\omega =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial \space {\mathfrak{G}}}\omega .\end{eqnarray}

Für ein n ∈ ℕ seien dabei etwa \({\mathfrak{G}}\) eine singuläre n-dimensionale C2-Kette in einer offenen Mengen O im ℝn mit Rand \(\partial {\mathfrak{G}}\) und ω eine auf O erklärte stetig differenzierbare Differentialform (n − 1)-ten Grades.

Eine zusammenhängende und umfassende Darstellung (und Erklärung der obigen Begriffe) findet man im Übersichtsartikel über Vektoranalysis.

Benutzt man den Begriff der Mannigfaltigkeit, so wird man für \({\mathfrak{G}}\) etwa von einer kompakten orientierten n-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des ℝn mit Rand \(\partial {\mathfrak{G}}\) ausgehen und dabei auf \(\partial {\mathfrak{G}}\) die durch \({\mathfrak{G}}\) induzierte Orientierung wählen. ω sei wieder auf einer offenen Obermenge von \({\mathfrak{G}}\) definierte stetig differenzierbare Differentialform (n − 1)-ten Grades.

Die Voraussetzungen des Satzes lassen sich in mancherlei Hinsicht noch abschwächen und modifizieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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