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Lexikon der Mathematik: Gaußsche Fehlerfunktion

Fehlerfunktion, die durch \begin{eqnarray}\text{erf}(z):=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}{e}^{-{t}^{2}}dt\end{eqnarray} für z ∈ ℂ definierte Funktion.

Ebenso definiert man die reziproke Fehlerfunktion durch \begin{eqnarray}\text{erfc}\space (z):=1-\text{erf}\space (z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\displaystyle \underset{z}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-{t}^{2}}dt.\end{eqnarray}

Der Integrationsweg des Integrals muß hierbei in der komplexen Ebene so gewählt werden, daß \begin{eqnarray}\arg (t)\to \alpha \space \mathrm{f\ddot {u}r}\space t\to \infty,\space \text{wobei}\space \space |\alpha |\lt \frac{\pi }{4}.\end{eqnarray}

Es ist erf eine ganze Funktion, für die die folgenden elementaren Symmetrierelationen gelten: \begin{eqnarray}\text{erf}\space (-z)=-\text{erf}\space (z),\space \space \space \text{erf}\space (\bar{z})=\overline{\text{erf}\space (z).}\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Gaußsche Fehlerfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Die Gaußsche Fehlerfunktion

Man erhält ferner als Reihenentwicklungen: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\text{erf}\space (z) & = & \frac{2}{\sqrt{\pi }}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}{z}^{2n+1}}{n!(2n+1)}\\ & = & \frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-{z}^{2}}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2n+1)}{z}^{2n+1}.\end{array}\end{eqnarray}

Für x ≥ 0 gelten die folgenden, oft nützlichen Ungleichungen: \begin{eqnarray}\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+2}}\lt \frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{{x}^{2}}\text{erfc}\space (x)\le \frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+4/\pi }}.\end{eqnarray}

Ferner gilt die folgende asymptotische Entwicklung für z → ∞, wobei \(|\arg (z)|\space \lt \space \frac{3\pi }{4}\): \begin{eqnarray}\sqrt{\pi }z{e}^{{z}^{2}}\text{erfc}\space (z)\sim 1+\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{(-1)}^{m}\frac{1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2m-1)}{{(2{z}^{2})}^{m}}.\end{eqnarray}

Für x ∈ ℝ ist erf reellwertig, und es gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }\space \space \text{erf}(x)=\text{1}\text{.}\end{eqnarray}

Die Gaußsche Fehlerfunktion spielt eine wichtige Rolle in der Fehlerrechnung. Eine aus n Messungen derselben physikalischen Größe bestehende Beobachtungsreihe a1, a2, …, an ist in der Regel mit Beobachtungsfehlern ϵ1, ϵ2,…, ϵn behaftet. Ist x der wahre Wert, so gilt \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{v}=x-{a}_{v},\space \space v=1,2,\ldots,n.\end{eqnarray}

Unter gewissen Voraussetzungen unterliegen die Beobachtungsfehler ϵv einer strengen Gesetzmäßigkeit, und zwar dem sog. Gaußschen Fehlerverteilungsgesetz: Die Wahrscheinlichkeit P(Δ) dafür, daß ein Beobachtungsfehler ϵ zwischen den Schranken −Δ und Δ (Δ > 0) liegt, ist gegeben durch \begin{eqnarray}P(\Delta )=\text{erf}\left(\frac{\Delta }{\sigma \sqrt{2}}\right),\end{eqnarray} wobei σ die Streuung der Meßwerte ist. Diese ist meist unbekannt, man kann sie aber aufgrund mehrerer Meßwerte schätzen.

Schließlich sei der enge Zusammenhang \begin{eqnarray}\text{erf}\space (z)=2{\rm{\Phi }}(x\sqrt{2})-\frac{1}{2}\end{eqnarray} mit dem Gaußschen Fehlerintegral Φ erwähnt.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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