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Lexikon der Mathematik: Gaußsche Interpolationsformel für trigonometrische Interpolation

explizite Darstellung eines trigonometrischen Interpolationspolynoms.

Gegeben seien 2n + 1 Punkte \begin{eqnarray}0\le {x}_{0}\lt {x}_{1}\lt \cdots \lt {x}_{2n}\lt 2\pi \end{eqnarray} und Werte y0,…, y2n.

Für j = 0,…, 2n definiere man das trigonometrische Polynom \begin{eqnarray}{t}_{j}(x)=\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}\mu =0\\ \mu \ne j\end{array}}^{2n}\frac{\sin \space ((x-{x}_{\mu })/2)}{\sin \space (({x}_{j}-{x}_{\mu })/2)}.\end{eqnarray}

Offenbar hat tj die Eigenschaft \begin{eqnarray}{t}_{j}({x}_{k})=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text{falls}\space j=k\\ 0, & \text{falls}\space j\ne k.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Daher löst das trigonometrische Polynom \begin{eqnarray}{T}_{n}(x)=\displaystyle \sum _{j=0}^{2n}{y}_{j}{t}_{j}(x)\end{eqnarray} die Interpolationsaufgabe \begin{eqnarray}{T}_{n}({x}_{k})={y}_{k}\space \space \text{f}\ddot {\text {u}}\text {r}\space k=0,\ldots,2n.\end{eqnarray}

Dieser Zugang wird als Gaußsche Interpolationsformel für trigonometrische Interpolation bezeichnet.

[1] Davis, P.J.: Interpolation and Approximation. Blaisdell Publishers Waltham, Massachusetts, 1963.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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