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Lexikon der Mathematik: Gaußsche Interpolationsformel

spezielle Darstellung des Interpolationspolynoms im Fall äquidistanter Stützstellen.

Mit einem x0 ∈ ℝ und h > 0 seien Stützstellen xj = x0 + jh und Werte yj für j = 0, ±1, ±2,… gegeben. Weiterhin bezeichne Δ den üblichen Vorwärtsdifferenzenoperator.

Dann löst das Polynom pn, definiert durch \begin{array}{l}{p}_{n}({x}_{0}+th)={y}_{0}+t{\rm{\Delta }}{y}_{0}+\frac{t(t-1)}{2!}{{\rm{\Delta }}}^{2}y-1\\ \space\quad \quad \quad \quad +\frac{t(t-1)(t+1)}{3!}{{\rm{\Delta }}}^{3}y-1 \\\quad \quad \quad \quad \space +\cdots +\\ \space\quad\quad\quad\quad +\frac{t(t-1)(t+1)\cdots (t-m)}{(2m)!}{{\rm{\Delta }}}^{2m}y-m,\end{array} falls n gerade, n = 2m, bzw. \begin{eqnarray}\begin{array}{c}{p}_{n}({x}_{0}+th)={y}_{0}+t{\rm{\Delta }}{y}_{0}+\frac{t(t-1)}{2!}{{\rm{\Delta }}}^{2}y-1\\ +\cdots +\\ +\frac{t(t-1)(t+1)\cdots (t-m)(t+m)}{(2m+1)!}{{\rm{\Delta }}}^{2m+1}y-m,\end{array}\end{eqnarray} falls n ungerade, n = 2m + 1, das Interpolations-problem \begin{eqnarray}{p}_{n}({x}_{j})={y}_{i}\space \space \space \text {f}\ddot{\text u}\text r\space \space j=-m,\ldots,-m+n.\end{eqnarray}

Eine analoge Formel läßt sich auch unter Verwendung des Rückwärtsdifferenzenoperators her-leiten.

[1] Isaacson, E.; Keller, H.B.: Analyse numerischer Verfahren. Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main, 1973.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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