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Lexikon der Mathematik: Gaußsche Krümmung

das Produkt k = k1k2 der beiden Hauptkrümmungen einer Fläche ⊂ ℝ3.

Da die Hauptkrümmungen die Eigenwerte der Weingartenabbildung S von sind, kann man k auch als Determinante von S definieren. Das führt auf die Formel \begin{eqnarray}k=\frac{LN-{M}^{2}}{EG-{F}^{2}},\end{eqnarray} in der E, F, G die Koeffizienten der ersten und L, M, N die Koeffizienten zweiten Gaußschen Fundamentalform sind.

Die Gaußsche Krümmung ist eine auf definierte Funktion, die nur von deren innerer Geometrie abhängt. Daher existieren Formeln, die sie allein durch E, F, G ausdrücken. Diese sind vergleichsweise komplizierte Ausdrücke, die die ersten Fundamentalgrößen und deren partielle Ableitungen Eu, Ev, Fu,… erster Ordnung, sowie die partiellen Ableitungen Evv, Fuv, Guu zweiter Ordnung enthalten. Mit Hilfe von Determinanten erhält man übersichtlichere Ausdrücke, von denen wir hier die Formel \begin{eqnarray}k=-\frac{1}{2{W}^{4}}\left |\begin{array}{lll}E & {E}_{u} & {E}_{v}\\ F & {F}_{u} & {F}_{v}\\ G & {G}_{u} & {G}_{v}\end{array}\right|-\frac{1}{2W}\left\{\frac{\partial }{\partial v}\frac{{E}_{v}-{F}_{u}}{W}-\frac{\partial }{\partial u}\frac{{F}_{v}-{G}_{u}}{W}\right\}\end{eqnarray} und die Formel von Francesco Brioschi \begin{eqnarray}k=\frac{1}{{W}^{2}}\left \{-\left|\begin{array}{ccc}0 & \frac{1}{2}{E}_{v} & \frac{1}{2}{G}_{u}\\ \frac{1}{2}{E}_{v} & E & F\\ \frac{1}{2}{G}_{u} & F & G\end{array}\right |+\left |\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}{E}_{vv}+{F}_{uv}-\frac{1}{2}{G}_{uu} & \frac{1}{2}{E}_{u} & {F}_{u}-\frac{1}{2}{E}_{v}\\ {F}_{v}-\frac{1}{2}{G}_{u} & E & F\\ \frac{1}{2}{G}_{v} & F & G\end{array}\right |\right \}\end{eqnarray} angeben, in denen W = EGF2 die Determinante der ersten Fundamentalform bezeichnet.

Da die Weingartenabbildung bezüglich irgendwelcher Flächenparameter lokal als Matrix der partiellen Ableitungen der Gauß-Abbildung n gegeben ist, ist die Gaußsche Krümmung als Determinante dieser Matrix ein Maß für die infinitesimale Veränderung von Flächeninhalten bei der Gauß-Abbildung. Der Flächeninhalt des sphärischen Bildes (Gauß-Abbildung) \({\mathfrak{n}}(G)\space \subset \space {S}^{\text{2}}\) eines Gebietes G ist daher gleich der Gesamtkrümmung von G.

Andere anschauliche Deutungen von k ergeben sich beim Messen der Winkelsumme in geodätischen Dreiecken auf D, d. h., in Dreiecken, deren Seiten geodätische Kurven sind. Die Gesamtkrümmung kD von D mißt die Abweichung der Summe α + β + γ der drei Winkel von π, d. h. es gilt kD = α + β + γπ. Da die Winkelsumme in einem ebenen Dreieck gleich π ist, zeigt diese Formel, daß man die Gaußsche Krümmung durch Messungen innerhalb der Fläche ermitteln kann.

Beispielsweise ist die Gaußsche Krümmung einer Kugelfläche mit Radius r konstant gleich 1/r2.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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