das Produkt k = k₁k₂ der beiden Hauptkrümmungen einer Fläche ℱ ⊂ ℝ³.

Da die Hauptkrümmungen die Eigenwerte der Weingartenabbildung S von ℱ sind, kann man k auch als Determinante von S definieren. Das führt auf die Formel \begin{eqnarray}k=\frac{LN-{M}^{2}}{EG-{F}^{2}},\end{eqnarray} in der E, F, G die Koeffizienten der ersten und L, M, N die Koeffizienten zweiten Gaußschen Fundamentalform sind.

Die Gaußsche Krümmung ist eine auf ℱ definierte Funktion, die nur von deren innerer Geometrie abhängt. Daher existieren Formeln, die sie allein durch E, F, G ausdrücken. Diese sind vergleichsweise komplizierte Ausdrücke, die die ersten Fundamentalgrößen und deren partielle Ableitungen E_u, E_v, F_u,… erster Ordnung, sowie die partiellen Ableitungen E_vv, F_uv, G_uu zweiter Ordnung enthalten. Mit Hilfe von Determinanten erhält man übersichtlichere Ausdrücke, von denen wir hier die Formel \begin{eqnarray}k=-\frac{1}{2{W}^{4}}\left |\begin{array}{lll}E & {E}_{u} & {E}_{v}\\ F & {F}_{u} & {F}_{v}\\ G & {G}_{u} & {G}_{v}\end{array}\right|-\frac{1}{2W}\left\{\frac{\partial }{\partial v}\frac{{E}_{v}-{F}_{u}}{W}-\frac{\partial }{\partial u}\frac{{F}_{v}-{G}_{u}}{W}\right\}\end{eqnarray} und die Formel von Francesco Brioschi \begin{eqnarray}k=\frac{1}{{W}^{2}}\left \{-\left|\begin{array}{ccc}0 & \frac{1}{2}{E}_{v} & \frac{1}{2}{G}_{u}\\ \frac{1}{2}{E}_{v} & E & F\\ \frac{1}{2}{G}_{u} & F & G\end{array}\right |+\left |\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}{E}_{vv}+{F}_{uv}-\frac{1}{2}{G}_{uu} & \frac{1}{2}{E}_{u} & {F}_{u}-\frac{1}{2}{E}_{v}\\ {F}_{v}-\frac{1}{2}{G}_{u} & E & F\\ \frac{1}{2}{G}_{v} & F & G\end{array}\right |\right \}\end{eqnarray} angeben, in denen W = EG − F² die Determinante der ersten Fundamentalform bezeichnet.

Da die Weingartenabbildung bezüglich irgendwelcher Flächenparameter lokal als Matrix der partiellen Ableitungen der Gauß-Abbildung n gegeben ist, ist die Gaußsche Krümmung als Determinante dieser Matrix ein Maß für die infinitesimale Veränderung von Flächeninhalten bei der Gauß-Abbildung. Der Flächeninhalt des sphärischen Bildes (Gauß-Abbildung) \({\mathfrak{n}}(G)\space \subset \space {S}^{\text{2}}\) eines Gebietes G ⊂ ℱ ist daher gleich der Gesamtkrümmung von G.

Andere anschauliche Deutungen von k ergeben sich beim Messen der Winkelsumme in geodätischen Dreiecken auf D ⊂ ℱ, d. h., in Dreiecken, deren Seiten geodätische Kurven sind. Die Gesamtkrümmung k_D von D mißt die Abweichung der Summe α + β + γ der drei Winkel von π, d. h. es gilt k_D = α + β + γ − π. Da die Winkelsumme in einem ebenen Dreieck gleich π ist, zeigt diese Formel, daß man die Gaußsche Krümmung durch Messungen innerhalb der Fläche ermitteln kann.

Beispielsweise ist die Gaußsche Krümmung einer Kugelfläche mit Radius r konstant gleich 1/r².