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Lexikon der Mathematik: Gaußsche Summen

im engeren Sinne die durch \begin{eqnarray}{G}_{n}:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi i}{n}{v}^{2}},\space \space n\in {\mathbb{N}},\end{eqnarray} definierten Summen. Ihre Werte kann man explizit berechnen, es gilt \begin{eqnarray}{G}_{n}=\frac{1+{(-i)}^{n}}{1-i}\sqrt{n}.\end{eqnarray}

Ist speziell n = 2k + 1 (k ∈ ℕ0) eine ungerade Zahl, so ergibt sich \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{v=0}^{2k}{e}^{\frac{2\pi i}{2k+1}{v}^{2}}=\sqrt{{(-1)}^{k}(2k+1)}. \end{array}\end{eqnarray}

In erster Verallgemeinerung hiervon betrachtet man für eine ungerade Primzahl p die Summe \begin{eqnarray}{S}_{p}:=\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}\left (\frac{j}{p}\right){e}^{2k\pi i/p},\end{eqnarray} wobei \(\left (\frac{j}{p}\right )\) das Legendre-Symbol ist.

In dieser Form wurden die Summen von Gauß selbst gegeben. Er betrachtete sie zunächst im Zusammenhang mit der Konstruktion regulärer Vielecke mit Zirkel und Lineal. Man beweist relativ leicht die Relation \begin{eqnarray}{S}^{2}=\left (\frac{-1}{p}\right)p;\end{eqnarray} die Bestimmung des komplexen Vorfaktors von \(\sqrt{p}\) zur Bestimmung von S, des „Wurzelzeichens“, bereitete Gauß große Mühe, bis er 1805 bewies: \begin{eqnarray}S=\left \{\begin{array}{llll}\sqrt{p} & \text{falls} & p\equiv 1 & \mathrm{mod}\space \space 4,\\ i\sqrt{p} & \text{falls} & p\equiv 3 & \mathrm{mod}\space \space 4.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Gaußsche Summen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der quadratischen Reste.

Schließlich kann man noch eine weitere Verallgeminerugn vornehmen und die folgenden, ebenfalls nach Gauß benannten, Summen betrachten: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\tau }_{a}(\chi )=\displaystyle \sum _{m=0}^{q-1}\chi (m,q)\text {e}^{(2\pi \text{i}am)/q},\space \space a\in {\mathbb{Z}}, \end{array}\end{eqnarray} wobei q ∈ ℕ und χ = χ (m, q) ein multiplikativer Restklassencharakter modulo q (auch Dirichlet-Charakter modulo q genannt) ist.

Solch ein Restklassencharakter χ ist definiert als eine Funktion \begin{eqnarray}\chi :{\mathbb{Z}}\to S:=\{z\in {\mathbb{C}}|\space |z|\space =1\},\end{eqnarray} mit

  1. χ (m · n) = χ (m) · χ (n), für alle n, m ∈ ℤ,
  2. χ (m) = χ (n), falls mn mod q.

Die Restklassencharaktere werden eindeutig gegeben durch die Charaktere der Einheitengruppe des Restklassenrings ℤ/qℤ.

Die Gaußschen Summen (2) ergeben Beziehungen zwischen den multiplikativen Charakteren mod q und den additiven Charakteren mod q, d. h. den auf den ganzen Zahlen definierten komplexwertigen Funktionen mit Periode q.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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