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Lexikon der Mathematik: Gebietskonvergenz

Eigenschaft des Lebesgue-Integrals.

Die Gebietskonvergenz der Integration besagt, daß die Lebesgue-Integrale einer Funktion auf einer aufsteigenden Folge von Integrationsgebieten gegen das Integral über die Vereinigung der Integrationsgebiete konvergieren. Genauer: Sei (Mk) eine isotone Mengenfolge in ℝn, d. h. M1M2 ⊂ … und \(M\space =\space \displaystyle {\cup }_{k\space =\space 1}^{\infty }{M}_{k}\).

Ist dann f : M → ℝ über M und über alle Mk Lebesgue-integrierbar, dann gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}f(x)\space dx=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{M}_{k}}f(x)\space dx.\end{eqnarray}

Man erhält diese Aussage aus dem Satz von Lebesgue durch Betrachten der Funktionen \({f}_{k}:=\space {\chi }_{{M}_{k}}f\) mit fk(x) → f(x) für xM und k → ∞. Die Integrierbarkeit von f über M läßt sich oft mit Hilfe des Satzes von Levi aus der Integrierbarkeit über die Mk erschließen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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