Die gebrochene Analysis, auch Fractional Calculus genannt, ist ein Teilgebiet der Analysis, in dem die zu n ∈ ℕ gebildete höhere Ableitung f(ⁿ) und n-fach iterierte Integration \(\displaystyle \int {\ldots \\ n}\displaystyle \int f\) geeigneter reeller Funktionen f verallgemeinert werden auf den Fall nicht-ganzzahliger n.

Es geht also darum, zu einer Funktion f : [a, b] → ℝ, wobei a, b ∈ ℝ seien mit a < b, für q ∈ ℝ (oder sogar q ∈ ℂ) Funktionen D^qf : [a, b] → ℝ so zu definieren, daß D⁰f = f gilt, Dⁿf = f⁽ⁿ⁾ für n-mal differenzierbares f und \begin{eqnarray}{D}^{-n}f(x)=\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}\displaystyle \underset{a}{\overset{{x}_{1}}{\int }}\cdots \displaystyle \underset{a}{\overset{{x}_{n-1}}{\int }}f({x}_{n})\space d{x}_{n}\ldots d{x}_{1}\end{eqnarray} für geeignetes integrierbares f und x ∈ [a, b], wobei charakteristische Eigenschaften der höheren Ableitung oder iterierten Integration wie etwa Linearität für D^q erhalten bleiben sollen. Im Fall q > 0 spricht man von einer gebrochenen Ableitung, bei q < 0 von einem gebrochenen Integral. Diese sind somit eine Art Interpolation zwischen höheren Ableitungen bzw. iterierten Integrationen ganzer Ordnung. Das Attribut „gebrochen“ ist historisch bedingt und trifft nicht im Wortsinn zu, da auch nicht-rationale q zugelassen werden. Daher ist die zusammenfassende Bezeichnung Differintegral q-ter Ordnung vorzuziehen.

Erste Ideen zu gebrochenen Ableitungen entwickelte schon ab 1695 Gottfried Wilhelm Leibniz \((q\space =\space \frac{1}{2})\), und auch Leonhard Euler stellte 1730 die Frage, wie man n-te Differentialquotienten für nicht-ganze n definieren könne. Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Ableitungen und Integralen besitzen Differintegrale keine unmittelbar anschauliche Interpretation als Steigungen oder Flächeninhalte. Die gebrochene Analysis hat aber durchausnützliche Anwendungen sowohl innerhalb der Mathematik (etwa bei partiellen Differentialgleichungen) als auch in den Naturwissenschaften (Physik, Chemie, z. B. in Rheologie und Diffusionstheorie) gefunden, wobei Differentialgleichungen mit Ableitungen nicht-ganzer Ordnungen eine wichtige Rolle spielen.

Je nach Verwendungszweck ist es vorteilhaft, Differintegrale auf verschiedene Weisen zu definieren, von denen einige kurz dargestellt seien:

Differenzenquotienten und Riemann-Summen. Ist f n-mal differenzierbar an der Stelle x, so gilt: \begin{eqnarray}{D}^{n}f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{{\varepsilon }^{n}}\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{(-1)}^{j}\left (\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right )f(x-j\varepsilon ).\end{eqnarray}

Setzt man \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{p}:={\varepsilon }_{p}(x):=\frac{x-a}{p}\end{eqnarray} für p ∈ ℕ, so folgt unter Beachtung von \(\left ({n\\ j}\right ) = 0\) für j > n: \begin{eqnarray}{D}^{n}f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{p\to \infty }\frac{1}{{\varepsilon }_{p}^{n}}\displaystyle \sum _{j=0}^{p}{(-1)}^{j}\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)f(x-j{\varepsilon }_{p}).\end{eqnarray}

Die Stellen x − jϵ_p für j = 0,…, p − 1 definieren eine Zerlegung von [a, x]. Ist f über [a, x] Riemann-integrierbar, so lassen sich damit die iterierten Integrale als Grenzwerte von Riemann-Summen ausdrücken: \begin{eqnarray}{D}^{-n}f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{p\to \infty }{\varepsilon }_{p}^{n}\displaystyle \sum _{j=0}^{p-1}\left(\begin{array}{c}j+n-1\\ j\end{array}\right)f(x-j{\varepsilon }_{p}).\end{eqnarray}

Mit \begin{eqnarray}\left (\begin{array}{c}j+n-1\\ j\end{array}\right )={(-1)}^{j}\left (\begin{array}{c}-n\\ j\end{array}\right )\end{eqnarray} erhält man für q ∈ ℤ \begin{eqnarray}{D}^{q}f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{p\to \infty }{\varepsilon }_{p}^{-q}\displaystyle \sum _{j=0}^{p-1}{(-1)}^{j}\left (\begin{array}{c}q\\ j\end{array}\right )f(x-j{\varepsilon }_{p}).\end{eqnarray}

Das Residuum von Γ an der Stelle −r ist (−1)^r/r!. Folglich gilt \begin{eqnarray}\frac{{\rm{\Gamma }}(-r)}{{\rm{\Gamma }}(-s)}={(-1)}^{s-r}\frac{s!}{r!}\end{eqnarray} für r, s ∈ ℕ und somit \begin{eqnarray}{(-1)}^{j}\left (\begin{array}{c}q\\ j\end{array}\right)=\frac{{\rm{\Gamma }}(j-q)}{{\rm{\Gamma }}(-q){\rm{\Gamma }}(j+1)}\end{eqnarray} für q ∈ ℤ. Daher wird für q ∈ ℝ, wenn der Grenzwert existiert, durch \begin{eqnarray}{D}^{q}f(x):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{p\to \infty }\frac{{\varepsilon }_{p}^{-q}}{{\rm{\Gamma }}(-q)}\displaystyle \sum _{j=0}^{p-1}\frac{{\rm{\Gamma }}(j-q)}{{\rm{\Gamma }}(j+1)}f(x-j{\varepsilon }_{p})\end{eqnarray} ein Differintegral q-ter Ordnung definiert. Der Vorteil dieses 1867 von A. K. Grünwald und 1868 von A. V. Letnikov zuerst benutzten Zugangs ist, daß er keine weiteren Voraussetzungen an die Funktion f stellt und nicht auf die gewöhnlichen Ableitungen und Integrale von f zurückgreift, dabei aber die übliche Ableitungs- und Integraldefinition (Differenzenquotienten, Riemann-Summen) in natürlicher Weise erweitert.

Riemann-Liouville-Integral. Hier geht man aus von der Cauchy-Formel für die n-fach iterierte Integration, \begin{eqnarray}{D}^{-n}f(x)=\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\space dt,\end{eqnarray} und definiert für q < 0 \begin{eqnarray}{D}^{q}f(x):=\frac{1}{{\rm{\Gamma }}(-q)}\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{-q-1}f(t)\space dt.\end{eqnarray}

Für q > 0 setzt man D^qf ≔ DⁿD^q−nf mit einer beliebigen natürlichen Zahl n > q, wobei Dⁿ die gewöhnliche n-fache Ableitung bezeichnet. Dieser Zugang ist unter geeigneten Voraussetzungen an f äquivalent zu dem über Differenzenquotienten, aber auch für a = −∞ möglich, und geht auf Überlegungen von 1832 von Joseph Liouville (a = −∞) und 1847 von Georg Friedrich Bernhard Riemann (a ∈ ℝ) zurück. Das Riemann-Liouville-Integral ist besser für formale Rechnungen geeignet als der Zugang nach Grünwald und Letnikov und auch wegen der relativen Einfachheit seiner Definition der meistbenutzte Zugang zu Differintegralen.

Exponentialreihen. Auf Liouville geht auch die Idee zurück, ausgehend von einer Darstellung \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c}_{k}\exp ({b}_{k}x)\end{eqnarray} ein Differintegral q-ter Ordnung durch \begin{eqnarray}{D}^{q}f(x):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c}_{k}{b}_{k}^{q}\exp ({b}_{k}x)\end{eqnarray} zu definieren, die Konvergenz der Reihen vorausgesetzt. Man kann zeigen, daß dies dem Fall a = −∞ im Riemann-Liouville-Integral entspricht. Ein entsprechendes Vorgehen ist auch bei Funktionen möglich, die durch Exponentialintegrale anstelle von Exponentialreihen dargestellt werden.

Potenzreihen mit nicht notwendig ganzen Exponenten p. Ebenfalls von Riemann stammt der Ansatz, die für q ∈ ℕ gültige Identität \begin{eqnarray}{D}^{q}{x}^{p}=\frac{{\rm{\Gamma }}(p+1)}{{\rm{\Gamma }}(p-q+1)}{x}^{p-q}\end{eqnarray} für den Fall q ∈ ℝ als Definition zu benutzen und gliedweise auf eine Potenzreihe anzuwenden.

Cauchy-Integralformel. Die für n ∈ ℕ₀ für eine in einer Umgebung U von z ∈ ℂ holomorphe Funktion f und einen Integrationsweg in U gültige Cauchy-Integralformel \begin{eqnarray}{D}^{n}f(z)=\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle \oint \frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}d\zeta \end{eqnarray} kann man verallgemeinern und für q ∈ ℝ\(−ℕ) \begin{eqnarray}{D}^{n}f(z):=\frac{{\rm{\Gamma}}(q+1)}{2\pi i}\displaystyle \oint \frac{f(\zeta)}{{(\zeta-z)}^{q+1}}d\zeta\end{eqnarray} definieren. Dabei sind ein geeigneter Zweig der Potenzfunktion und ein geeigneter Integrationsweg zu wählen. Mit unterschiedlichen Integrationswegen führten dies 1884 Pierre Laurent, 1888 P. A. Nekrassov und 1890 A. Krug durch. Ausrechnen des Wegintegrals führt wieder zum Riemann-Liouville-Integral.

Analytische Fortsetzung. Von der Cauchy-Formel \begin{eqnarray}{D}^{-n}f(x)=\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\space dt\end{eqnarray} ausgehend definierte 1949 Marcel Riesz D^qf für q ∈ ℂ mit Re q < 0 und setzte die durch D_f (q) ≔ D^q(f) bei festem f definierte holomorphe Funktion \begin{eqnarray}{D}_{f}:\{q\in {\mathbb{C}}|\mathrm{Re}\space \space q\lt 0\}\to {\mathbb{C}}\end{eqnarray} analytisch auf ganz ℂ fort. Ist f n-mal differenzierbar ist, so kann D_f auf {q ∈ ℂ | Re q < n} fortgesetzt werden.

Nicht-ganze Potenzen linearer Operatoren. Geht man von einer allgemeineren Theorie nicht-ganzer Potenzen geeigneter linearer Abbildungen aus, so kann man Differintegrale durch Anwenden dieser Theorie auf den Differentialoperator erhalten.

Grundeigenschaften des Differintegrals. Wie die gewöhnliche höhere Ableitung und iterierte Integration ist auch die allgemeine Differintegration linear, d. h. für geeignete f, g und reelle (oder komplexe) Zahlen α, β gilt \begin{eqnarray}{D}^{q}(\alpha f+\beta g)=\alpha {D}^{q}f+\beta {D}^{q}g.\end{eqnarray}

Für das Differintegral eines Produktes gibt es eine Verallgemeinerung der Produktformel von Leibniz, und auch die Kettenregel kann man auf Differintegrale verallgemeinern. Die Beziehung D^mDⁿ = D^m+n für m, n ∈ ℕ überträgt sich unter zusätzlichen Voraussetzungen auf die Differintegration: Für geeignet differintegrierbare Funktionen f : [a, b] → ℝ und q ∈ ℝ gilt D^qD^pf = D^p+qf für p < 0, und im Fall m < p < m + 1 mit einem m ∈ ℕ₀ gilt dies, wenn man noch f^(k) (a) = 0 für 0 ≤ k < m voraussetzt. Daraus ergibt sich für die Vertauschbarkeit von Differintegrationen: Ist m < p < m + 1 und n < q < n + 1 mit m, n ∈ ℕ₀, ferner f^(k) (a) = 0 für 0 ≤ k < max(m, n), so folgt \begin{eqnarray}{D}^{q}{D}^{p}f={D}^{p+q}f={D}^{p}{D}^{q}f.\end{eqnarray}

Die Differintegrale einfacher Funktionen lassen sich explizit ausrechnen. Ist c ∈ ℝ und f_c: [a, b] → ℝ die durch f_c(x) ≔ c definierte konstante Funktion, so gilt \begin{eqnarray}{D}^{q}{f}_{c}(x)=c\frac{{(x-a)}^{-q}}{{\rm{\Gamma }}(1-q)}\end{eqnarray} für q < 0, speziell D^qf₀ = 0. Ist p > −1, so gilt \begin{eqnarray}{D}^{q}{(x-a)}^{p}=\frac{{\rm{\Gamma }}(p+1)}{{\rm{\Gamma }}(p-q+1)}{(x-a)}^{p-q}\end{eqnarray} für q ∈ ℝ, speziell \begin{eqnarray}{D}^{q}(x-a)=\frac{{(x-a)}^{1-q}}{{\rm{\Gamma }}(2-q)}.\end{eqnarray}

Mit Hilfe der genannten Differentiationsregeln und mit Regeln zur Differintegration von Potenzreihen kann man auch die Differintegrale vieler komplizierterer Funktionen bestimmen.