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Lexikon der Mathematik: gefasertes Gruppoid

Funktor \(a\space :\space {\mathcal F} \space \to \space {\mathscr{S}}\) von Kategorien mit folgenden Eigenschaften:

  • Wenn α Morphismus in ist so, daß a(α) = idU (U ein Objekt aus \({\mathscr{S}}\)), so ist α ein Isomorphismus.
  • Für Objekte η aus und U aus ϕ sowie Morphismen f : Ua(η) in \({\mathscr{S}}\)gibt es Morphismen α in mit a(α) = f.
  • Für Morphismen \({\xi }_{1}\mathop{\to }\limits^{{\alpha }_{1}}\space \eta,\space {\xi }_{2}\mathop{\to }\limits^{{\alpha }_{2}}\space \eta \) in gibt es zu jedem Morphismus f : a (ξ1) → a(ξ2) in \({\mathscr{S}}\)mit a (α2) ○ f = a (α1) genau einen Morphismus β : ξ1ξ2 mit α2β = α1, a(β) = f.
  • In der algebraischen Geometrie ist \({\mathscr{S}}\) eine Kategorie von Schemata, z. B. die Kategorie aller Noetherschen k-Schemata (k ein Körper) oder ℤ-Schemata, und gefaserte Gruppoide \( {\mathcal F} \to {\mathscr{S}}\) stellen den allgemeinen Rahmen dar, um den Umgang mit „algebraischen Familien algebraisch-geometrischer Objekte“ zu formalisieren. Dies ist vor allem im Hinblick auf Modulprobleme und Bildung von Quotientenräumen nützlich.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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