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Lexikon der Mathematik: gefensterte Fourier-Transformation

Gabor-Transformation, die durch Formel (1) beschriebene Integral-Transformation.

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, daß eine Funktion (bzw. ein Zeitsignal) und ihre Fouriertransformierte nicht gleichzeitig in einem beliebig kleinen Bereich der Zeit- und der Frequenzachse lokalisiert sein können. Einen Ausweg liefert die gefensterte Fouriertransformierte, die eine simultane Lokalisierung bzgl. der Zeit- und Frequenzvariablen ermöglicht. Sie wurde 1946 von Gabor eingeführt, wird daher auch als Gabor-Transformation bezeichnet, und ist wie folgt definiert: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Gf(s,\zeta ):=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\cdot {g}_{s}(t)\cdot {e}^{-i\cdot \zeta \cdot t}dt. \end{array}\end{eqnarray}

Dabei ist gs : tg(ts) das um s nach rechts (falls s > 0) verschobene Fenster.

Eine häufig verwendete Fensterfunktion ist \begin{eqnarray}g(t):=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi \cdot \sigma }}\cdot \exp \left (-\frac{{t}^{2}}{2\cdot {\sigma }^{2}}\right )\end{eqnarray} für festes σ > 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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