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Lexikon der Mathematik: Gegenbauer-Polynome

auch ultrasphärische Polynome genannt, ein klassisches orthogonales Polynomsystem auf dem Intervall [−1, 1] bezüglich der Gewichtsfunktion ω(x) = (1 − x2)v−1/2 für v > −1/2. Die Gegenbauer-Polynome \({P}_{n}^{v}\) sind mit dem Normierungsfaktor \begin{eqnarray}{C}_{n}^{v}(x)=\frac{{(-2)}^{n}{\rm{\Gamma }}(n+v){\rm{\Gamma }}(n+2v)}{n!{\rm{\Gamma }}(v){\rm{\Gamma }}(2n+2v)}\end{eqnarray} durch \begin{eqnarray}{P}_{n}^{v}(x)={C}_{n}^{v}(x){(1-{x}^{2})}^{-v+1/2}\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}({(1-{x}^{2})}^{n+v-1/2})\end{eqnarray} definiert. Eine explizite Darstellung ist durch \begin{eqnarray}{P}_{n}^{v}(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{(-1)}^{k}\frac{{\rm{\Gamma }}(n-k+v)}{k!(n-2k)!{\rm{\Gamma }}(v)}{(2x)}^{n-2k}\end{eqnarray} gegeben. Die Gegenbauer-Polynome lösen für \(y={P}_{n}^{v}\) die Differentialgleichung \begin{array}((1 – {x^2})y^{\prime\prime} – (2v + 1)xy^\prime + n(n + 2v)y = 0.\end{array}

Es gilt die Rekursion \({P}_{0}^{v}(x)=1\), \begin{eqnarray}{P}_{n+1}^{v}(x)=\frac{2(n+v)}{n+1}x{P}_{n}^{v}(x)-\frac{n+2v-1}{n+1}{P}_{n-1}^{v}(x).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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