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Lexikon der Mathematik: geheime Abstimmung, Satz über die

folgender Satz, mit dem die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, daß einer von zwei zur Wahl stehenden Kandidaten, für die mit gleicher Wahrscheinlichkeit insgesamt n Stimmen abgegeben werden, stets vor dem anderen liegt.

Seien X1, …,Xn auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\)definierte unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in0, und sei \({S}_{k}:=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{X}_{i}\)für k = 1,…, n. Dann gilt P(Sk < k für alle 1 ≤ kn|Sn) = max(0, Sn/n).

Ist Y1,…,Yn eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit Werten in {−1, 1} und \(P({Y}_{i}=1)=P({Y}_{i}=-1)=\frac{1}{2}\) für i = 1,…, n, und sind a, b ∈ ℕ0 mit a > b und a + b = n, so liefert der Satz angewendet auf XiYi + 1, i = 1,…, n, die Gleichung \begin{eqnarray}P({T}_{1}\gt 0,\ldots,{T}_{n}\gt 0|{T}_{n}=a-b)=\frac{a-b}{n}\end{eqnarray} mit \({T}_{k}:=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{Y}_{i}\), k = 1,…, n.

Faßt man weiter das Ereignis {Yi = 1} als Stimmabgabe für den ersten und {Yi = −1} als Stimmabgabe für den zweiten Kandidaten durch den i-ten Wähler und die Zahlen a und b als die jeweils insgesamt auf den ersten bzw. zweiten Kandidaten entfallenden Stimmen auf, so führt diese Gleichung auf die oben angegebene Interpretation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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