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Lexikon der Mathematik: Gelfandsche Vermutung

zahlentheoretische Vermutung über die algebraische Unabhängigkeit von Exponentialausdrücken:

Sei α ≠ 0 eine algebraische Zahl, bezeichne log einen Zweig des komplexen Logarithmus mit log α ≠ 0, und sei β eine weitere algebraische Zahl mit einem Grad d ≥ 2. Es wird vermutet, daß die d − 1 Zahlen \begin{eqnarray}{\alpha }^{\beta },{\alpha }^{{\beta }^{2}},\ldots,{\alpha }^{{\beta }^{d-1}}\end{eqnarray}algebraisch unabhängig sind.

Nach dem Satz von Gelfand-Schneider ist jede der Zahlen \({\alpha }^{{\beta }^{k}}\), k = 1,…, d − 1, transzendent. Gelfand zeigte 1949, daß, falls d ≥ 3, mindestens zwei dieser Zahlen voneinander algebraisch unabhängig sind. Dieses Ergebnis konnte Diaz 1987 verbessern: Unter den obigen d − 1 Potenzen gibt es mindestens \(\lfloor \frac{1}{2}(d+1)\rfloor \) voneinander algebraisch unabhängige.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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