Verteilung eines Produkts von Zufallsvariablen.

Ist X_i für i = 1,…, n eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) definierte Zufallsvariable mit Werten in dem meßbaren Raum \(({{\rm{\Omega }}}_{i},\space {{\mathfrak{A}}}_{i})\), so ist die Produktabbildung \begin{eqnarray}{X}_{1}\otimes \ldots \otimes {X}_{n}:{\rm{\Omega }}\ni \omega \to ({X}_{1}(\omega ),\ldots,{X}_{n}(\omega ))\in \displaystyle \prod _{i=1}^{n}{{\rm{\Omega }}}_{i}\end{eqnarray} eine Zufallsvariable von \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},P)\) in den Produktraum \(\left (\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{{\rm{\Omega }}}_{i},\space {\otimes }_{i=1}^{n}{{\mathfrak{A}}}_{i}\right)\), deren Verteilung \({P}_{{X}_{1}\otimes \ldots \otimes {X}_{n}}\) die gemeinsame Verteilung der X₁, …, X_n genannt wird. Die gemeinsame Verteilung ist somit ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produkt \({\otimes }_{i=1}^{n}{{\mathfrak{A}}}_{i}\) der σ-Algebren \({{\mathfrak{A}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{A}}}_{n}\). Statt mit \({P}_{{X}_{1}\otimes \ldots \otimes {X}_{n}}\) bezeichnet man die gemeinsame Verteilung oft auch mit \({P}_{({X}_{1},\ldots,{X}_{n})}\) oder \({P}_{{X}_{1}, \ldots,{X}_{n}}\). Insbesondere bringen diese Bezeichnungen zum Ausdruck, daß die gemeinsame Verteilung der X₁,…, X_n auch als Verteilung des zufälligen Vektors (X₁,…, X_n) aufgefaßt werden kann. Es gilt der folgende Satz:

Endlich viele Zufallsvariablen X₁,…, X_n sind genau dann unabhängig, wenn ihre gemeinsame Verteilung das Produktmaß ihrer einzelnen Verteilungen ist, wenn also gilt \begin{eqnarray}{P}_{{X}_{1}\otimes \ldots \otimes {X}_{n}}={P}_{{X}_{1}}\space \otimes \ldots \otimes {P}_{{X}_{n}}.\end{eqnarray}