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Lexikon der Mathematik: Generalisierung

im weitesten Sinne die Verallgemeinerung von Aussagen.

Speziell versteht man darunter eine logische Ableitungsregel, die einem prädikatenlogischen Ausdruck ϕ und einer Individuenvariablen x den Ausdruck ∀ zuordnet (siehe auch Beweismethoden).

Ist weiterhin ψϕ(x1,…, xn) ein logischer Ausdruck aus einer elementaren Sprache, dann entsteht χ ≔ ∀x1… ∀xnϕ(x1, …, xn) aus ψ durch Generalisierung. Wird χ dabei zu einer Aussage (d. h., in χ kommen keine freien Variablen vor), dann heißt χ Generalisierte von ψ, und ψ und χ sind logisch äquivalent. Daher läßt sich z. B. das Kommutativgesetz der Addition ∀xy(x+y = y+x) kürzer durch x + y = y + x ausdrücken.

Analog lassen sich auch nichtformalisierte Ausdrücke mit Hilfe des Allquantors generalisieren.

Im Kontext Neuronale Netze ist Generalisierung die Bezeichnung für die Fähigkeit eines Netzes, auch für Eingabewerte, die nicht zu den ursprünglichen Trainingswerten gehören, sinnvolle und brauchbare Ausgabewerte im Ausführ-Modus zu erzeugen.

Im mathematischen Sinne kann dies z. B. im einfachsten Fall dadurch gesichert sein, daß die Netzfunktion \({\mathscr{N}}\) endlichen Bildbereich hat, also für wenig verschiedene Eingaben in vielen Fällen exakt dieselben Ausgaben erzeugt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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