Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Geodäte

in der Riemannschen Geometrie die Kurve, die lokal kürzeste Verbindung zwischen je zweien ihrer Punkte ist. In der Pseudo-Riemannschen Geometrie unterscheidet man drei Arten von Geodäten: Raumartige, zeitartige und lichtartige. Letztere werden auch Nullgeodäten genannt.

Diese drei Arten von Geodäten richten sich nach dem Charakter des Tangentialvektors an die Kurve, und dieser hängt nicht davon ab, an welchem Punkt der Geodäte dieser Tangentialvektor betrachtet wird. Beispiel: Eine anfangs raumartige Geodäte ist an jedem ihrer Punkte raumartig.

Wird der euklidische Raum als Riemannscher Raum interpretiert, so sind die Geraden genau die Geodäten. Auf der Sphäre S2 sind gerade die Großkreise die Geodäten. Bei letzterem Beispiel wird auch deutlich, warum die Einschränkung „lokal“ in der Definition nötig ist, da zwei Punkte (wenn sie nicht gerade Antipoden sind), stets durch zwei unterschiedlich lange Geodätenstücke verbunden werden können.

Wenn die Geodäte xi(s) parametrisiert wird, wobei xi die Koordinaten der Riemannschen Mannigfaltigkeit sind, so ist vi = dxi/ds der Tangentialvektor an die Kurve. Die Metrik der (Pseudo-) Riemannschen Mannigfaltigkeit ist gij. Das Produkt v = gijvivj bestimmt den Charakter der Geodäte: Bei v > 0 ist sie zeitartig, bei v < 0 raumartig, und sonst lichtartig. Ist |v| = 1, so heißt s natürlicher Parameter längs der Geodäte. Für v > 0 bestimmt der natürliche Parameter die Eigenzeit eines entlang dieser Geodäten bewegten Teilchens.

Eine Raum-Zeit heißt zeitartig geodätisch vollständig, wenn jede zeitartige Geodäte bis zu beliebig großen Werten ihres natürlichen Parameters fortgesetzt werden kann. Ist die Raum-Zeit nicht zeitartig geodätisch vollständig, so kann sie möglicherweise als Teilmenge einer zeitartig geodätisch vollständigen Raum-Zeit dargestellt werden. Ist dies jedoch auch nicht möglich, spricht man vom big bang-Modell; siehe auch Geodätengleichung.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos