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Lexikon der Mathematik: Geodätengleichung

gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung zur Bestimmung einer Geodäten.

Wird die Geodäte xi(s) mit dem natürlichen Parameter s parametrisiert, wobei xi die Koordinaten der Riemannschen Mannigfaltigkeit sind, so ist mit vi = dxi/ds \begin{eqnarray}\frac{D{v}^{i}}{Ds}=\frac{d{v}^{i}}{ds}+{{\rm{\Gamma }}}_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k}=0\end{eqnarray} die Geodätengleichung. Dabei bezeichnet D die kovariante Ableitung und \({{\rm{\Gamma }}}_{jk}^{i}\) die Christoffelsymbole. In Analogie zur Mechanik kann man vi als Geschwindigkeitsvektor und \(\frac{D{v}^{i}}{Ds}\) als Beschleunigungsvektor auffassen: Aus Angabe der Anfangslage und -geschwindigkeit ist die gesamte mechanische Bewegung eindeutig bestimmt.

Mittels Geodäten läßt sich die Krümmung des Raumes beschreiben: Die Gleichung der geodätischen Abweichung lautet \begin{eqnarray}\frac{{D}^{2}{a}^{i}}{d{s}^{2}}+{R}_{jlk}^{i}{v}^{k}{v}^{j}{a}^{l}=0.\end{eqnarray}

Dabei ist ai der (infinitesimal kleine) Vektor, der die Ausgangsgeodäte xi(s) von der (infinitesimal benachbarten) Geodäte yi(s) unterscheidet. Im Anfangspunkt bei s = 0 stimmen beide Geodäten überein. \({R}_{jlk}^{i}\) ist der Riemannsche Krümmungstensor.

Grob vereinfacht lautet die Struktur dieser Gleichung also d2a/ds2 + Rv2a = 0 mit a(0) = 0. Hieraus läßt sich folgendes ablesen:

Ist die Krümmung R durchweg positiv, so sind Lösungen a(s) = sin(ωs) typisch, wobei \begin{eqnarray}\omega ={|R|}^{1/2}\cdot |v|\end{eqnarray} ist. Geometrisch heißt das, daß sich bei einer Nullstelle s0 > 0 von a(s) (hier also bei s0 = π/ω) die Ausgangsgeodäte xi(s) und die infinitesimal benachbarte Geodäte yi(s) wieder schneiden, und zwar im Punkt xi(s0). xi(0) und xi(s0) heißen dann konjugierte Punkte. Unter geringen Zusatzvoraussetzungen gilt: Zwei Punkte sind genau dann konjugiert zueinander, wenn es mehr als ein Geodätenstück gibt, das beide miteinander verbindet.

Ist dagegen die Krümmung durchweg negativ, so gibt es keine konjugierten Punkte, da die typische Lösung a(s) = sinh(ωs) keine Nullstelle mit s ≠ 0 hat.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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