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Lexikon der Mathematik: geodätische Krümmung

eine Krümmungsfunktion κg von Flächenkurven (Krümmnung von Kurven), die als Betrag der tangentiellen Komponente der zweiten Ableitung einer auf einer Fläche \( {\mathcal F} \space \subset \space {{\mathbb{R}}}^{3}\) verlaufenden, durch die Bogenlänge parametrisierten Kurve α(s) definiert ist.

Die geodätische Krümmung wird auch Abwickelkrümmung, Seitenkrümmung oder Tangentialkrümmung genannt.

Ist durch die Wahl eines Normalenvektorfeldes u der Länge 1 orientiert, so bilden der Einheitstangentialvektor \({\mathfrak{t}}\space =\space \alpha ^{\prime} (s)\) und der Seitenvektor \({\mathfrak{s}}\space =\space \alpha \text{'}(s)\times {\mathfrak{u}}(\alpha (s))\) der Kurve eine orientierte Basis des Tangentialraumes \({T}_{\alpha (s)}( {\mathcal F} )\), die durch \({\mathfrak{n}}\) zu einer orthonormierten Basis von ℝ3 ergänzt wird. Mit Hilfe des Seitenvektors \({\mathfrak{s}}\) läßt sich eine vorzeichenbehaftete geodätische Krümmung \({\tilde{k}}_{g}\) mit \(|\space {\tilde{k}}_{g}\space |\space =\space {k}_{g}\) als Skalarprodukt \({\tilde{k}}_{g}\space =\space \langle \alpha ^{\prime\prime},\space {\mathfrak{s}}\rangle \) definieren. Die Darstellung von α″(s) als Linearkombination der Vektoren \({\mathfrak{t}},\space {\mathfrak{s}},\space {\mathfrak{n}}\) hat dann die Form \(\alpha^{\prime\prime}(s)\space =\space {\tilde{\kappa }}_{g}{\mathfrak{s}}+{\kappa }_{n}({\mathfrak{t}})\space {\mathfrak{n}}\), wobei \({\kappa }_{n}({\mathfrak{t}})\) die Normalkrümmung von in Richtung von \({\mathfrak{t}}\) ist. Daraus folgt für die Krümmung κ der Raumkurve α die Beziehung \({\kappa }^{2}\space =\space {\tilde{\kappa }}_{g}^{2}+{\kappa }_{n}^{2}(\alpha ^{\prime} )\).

Die Zugehörigkeit der geodätischen Krümmung zur inneren Geometrie der Fläche wird aus der Formel \begin{eqnarray}{\tilde \kappa _g} = \sqrt {EG – {F^2}} \left (u_1^\prime \left (u_2^{\prime \prime } + \mathop \sum \limits_{i,j = 1}^2 {{\Gamma }_{ij}^2}u_i^\prime u_j^\prime \right ) – u_2^\prime \left (u_1^{\prime \prime } + \mathop \sum \limits_{i,j = 1}^2 {{\Gamma }}_{ij}^1u_i^\prime u_j^\prime \right)\right)\end{eqnarray} ersichtlich, in der (u1(s), u2(s)) eine Gaußsche Parameterdarstellung der Kurve, E, F, G die Koeffizienten der ersten Gaußschen Fundamentalform, und \({{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}\) die Christoffelsymbole der Fläche sind.

Eine andere geometrische Erklärung der geodätischen Krümmung ist durch die Ableitung des Winkels ϑ(s) nach der Bogenlänge s gegeben, die der Tangentialvektor α′(s) mit einem längs α(s) parallel übertragenen Vektorfeld einschließt.

Ist die Kurve α in bezug auf lokale Koordinaten u, v der Fläche in impliziter Darstellung durch eine Gleichung der Form ϕ(u, v) = 0 gegeben, so gilt \begin{eqnarray}{\tilde{\kappa }}_{g}=\frac{1}{W}\left\{\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{F\space {\varphi }_{v}-G\space {\varphi }_{u}}{\sqrt{E\space {\varphi }_{u}^{2}-2\space F{\varphi }_{u}{\varphi }_{v}+G\space {\varphi }_{u}^{2}}}\right)\\ \space \space +\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{F\space {\varphi }_{u}-G\space {\varphi }_{v}}{\sqrt{E\space {\varphi }_{u}^{2}-2\space F{\varphi }_{u}{\varphi }_{v}+G\space {\varphi }_{u}^{2}}}\right)\right.\end{eqnarray} mit ϕu = ∂ϕ/∂u, ϕv = ∂ϕ/∂v und \(W\space =\space \sqrt{EG-{F}^{2}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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