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Lexikon der Mathematik: Geodätische

geodätische Kurve, geodätische Linie, Kurve γ (t) in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M, deren Tangentialvektor parallel übertragen wird.

Diese Definition gilt allgemein in Mannigfaltigkeiten M mit linearem Zusammenhang ∇.

Sind \({{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}\) die Christoffelsymbole von ∇ in bezug auf ein lokales Koordinatensystem (x1, …, xn) auf einer offenen Teilmenge UM, die γ enthält, und ist γ(t) = (x1(t),…, xn(t)) eine Parameterdarstellung von γ in diesen Koordinaten, so erfüllen die Funktionen xi(t) das Differentialgleichungssystem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{{d}^{2}{x}_{k}}{d{t}^{2}}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t))\frac{d{x}_{i}}{dt}\frac{d{x}_{j}}{dt}. \end{array}\end{eqnarray}

Daher gibt es zu jedem Punkt pU und jedem Anfangsvektor t ∈ Tp(M) eine eindeutig bestimmte, auf einer Umgebung von 0 ∈ ℝ definierte Geodätische γ(t) mit γ(0) = p und \(\mathop{\gamma }\limits^{.}(0)\space =\space {\mathfrak{t}}\). Überdies ist der Parameter t der Lösungskurven γ(t) bis auf affine Transformationen der Gestalt \(\tilde{t}\space =\space mt\space +n\) eindeutig bestimmt.

Ist M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Metrik g und ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang von M, so ist die Länge \(\sqrt{g(\mathop{\gamma }\limits^{.}(t),\space \mathop{\gamma }\limits^{.}(t))}\) des Tangentialvektors konstant. Somit ist jede Lösungskurve γ des Systems (1) durch die Bogenlänge parametrisiert, wenn der Anfangsvektor t ein Einheitsvektor ist.

Ist überdies die Metrik g positiv definit, so sind die Geodätischen von M die glatten Kurven γ(t), die lokal Verbindungskurven kürzester Länge sind. Das bedeutet, daß, wenn γ etwa auf dem Intervall I = [a, b] ⊂ ℝ definiert ist, es für alle t1I eine Zahl ϵ > 0 derart gibt, daß für alle t2I mit |t2t1| < ϵ der zwischen t1 und t2 gelegene Abschnitt von γ(t) die kürzeste Verbindungskurve der Punkte γ(t1) und γ(t2) ist. Geodätische sind in diesem Fall die Extremalen des Variationsproblems \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{g(\dot{\gamma }(\tau ),\space \space \dot{\gamma }(\tau ))}d\tau \to \text{Min}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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