Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: geodätischer Fluß

das Vektorfeld \({\rm{\Xi }}(x,\space \mathop{x}\limits^{.})\) auf dem Tangentialbündel T(M) einer mit einem linearen Zusammenhang ∇ versehenen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, das durch das System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Geodätischen bestimmt ist.

Geodätischen Fluß nennt man auch die eingliedrige Gruppe ϕ(t), (t ∈ ℝ) von lokalen Transformationen von T(M) in sich, deren Stromlinien die Integralkurven von Ξ sind.

Lokale Koordinaten (x1,…, xn) auf M induzieren lokale Koordinaten (x1,…, xn, ξ1,…, ξn) auf T(M), in denen der geodätischer Fluß die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\frac{d{\xi }_{k}}{dt}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}{\xi }_{i}{\xi }_{j}, & \frac{d{x}_{l}}{dt}={\xi }_{l} \end{array}\end{eqnarray} besitzt.

Er erscheint als System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, und die Transformationen ϕ(t) sind wie folgt als Lösungen dieses Systems erklärt: Ist (x0, ξ0) ∈ T(M) ein Tangentialvektor und \begin{eqnarray}(x(t),\xi (t))=({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t),{\xi }_{1}(t),\ldots,{\xi }_{n}(t))\end{eqnarray} die Lösung des Systems (1) mit dem Anfangswert (x(0), ξ(0))= (x0, ξ0), so ist \begin{eqnarray}\varphi (t)({x}_{0},{\xi }_{0})=(x(t),\xi (t)).\end{eqnarray}

Für jedes (x, ξ) ∈ T(M) ist die Flußlinie tϕ(t)(x, ξ) eine Integralkurve von Ξ, und ihr Bild in M bei der Projektion π : T(M) → M ist eine Geodätische von ∇.

Ist ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Metrik g auf M, so sind die Untermannigfaltigkeiten \begin{eqnarray}\{(x,\xi )\in T(M);g(\xi,\xi )=\text{const}\}\end{eqnarray} bei den Transformationen ϕ(t) invariant.

[1]Arnold, V.I.: Mathematische Methoden der klassischen Mechanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften (Übersetzung aus dem Russischen), Berlin, 1988.

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.