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Lexikon der Mathematik: geodätischer Fluß

das Vektorfeld \({\rm{\Xi }}(x,\space \mathop{x}\limits^{.})\) auf dem Tangentialbündel T(M) einer mit einem linearen Zusammenhang ∇ versehenen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, das durch das System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Geodätischen bestimmt ist.

Geodätischen Fluß nennt man auch die eingliedrige Gruppe ϕ(t), (t ∈ ℝ) von lokalen Transformationen von T(M) in sich, deren Stromlinien die Integralkurven von Ξ sind.

Lokale Koordinaten (x1,…, xn) auf M induzieren lokale Koordinaten (x1,…, xn, ξ1,…, ξn) auf T(M), in denen der geodätischer Fluß die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\frac{d{\xi }_{k}}{dt}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}{\xi }_{i}{\xi }_{j}, & \frac{d{x}_{l}}{dt}={\xi }_{l} \end{array}\end{eqnarray} besitzt.

Er erscheint als System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, und die Transformationen ϕ(t) sind wie folgt als Lösungen dieses Systems erklärt: Ist (x0, ξ0) ∈ T(M) ein Tangentialvektor und \begin{eqnarray}(x(t),\xi (t))=({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t),{\xi }_{1}(t),\ldots,{\xi }_{n}(t))\end{eqnarray} die Lösung des Systems (1) mit dem Anfangswert (x(0), ξ(0))= (x0, ξ0), so ist \begin{eqnarray}\varphi (t)({x}_{0},{\xi }_{0})=(x(t),\xi (t)).\end{eqnarray}

Für jedes (x, ξ) ∈ T(M) ist die Flußlinie tϕ(t)(x, ξ) eine Integralkurve von Ξ, und ihr Bild in M bei der Projektion π : T(M) → M ist eine Geodätische von ∇.

Ist ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Metrik g auf M, so sind die Untermannigfaltigkeiten \begin{eqnarray}\{(x,\xi )\in T(M);g(\xi,\xi )=\text{const}\}\end{eqnarray} bei den Transformationen ϕ(t) invariant.

[1]Arnold, V.I.: Mathematische Methoden der klassischen Mechanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften (Übersetzung aus dem Russischen), Berlin, 1988.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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