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Lexikon der Mathematik: geodätischer Krümmungskreis

eine Kurve \({\mathscr{K}}\) auf einer Fläche, deren geodätische Krümmung konstant ist.

Man setzt voraus, daß \({\mathscr{K}}\) maximal ist, d.h., daß es keine \({\mathscr{K}}\) enthaltende Kurve mit derselben konstanten geodätischen Krümmung gibt. Da die geodätische Krümmung eine Verallgemeinerung der Krümmung von ebenen Kurven darstellt, verallgemeinert der Begriff des geodätischen Krümmungskreises die Vorstellung vom Kreis als einer Kurve konstanter Krümmung.

Geodätische Krümmungskreise auf beliebigen Flächen sind im Gegensatz zu Kreisen der Ebene im allgemeinen keine geschlossenen Kurven. Es gilt folgender Satz:

Wenn auf einer Fläche alle Kurven konstanter geodätischer Krümmung geschlossen sind, so hat die Fläche notwendigerweise konstante Gaußsche Krümmung.

Die Bedingung der Konstanz der Gaußschen Krümmung ist aber nicht hinreichend.

[1] Blaschke, W.: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Springer-Verlag Berlin, 1945.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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