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Lexikon der Mathematik: Geometrie klassischer Gruppen

mathematisches Gebiet im Grenzbereich von Gruppentheorie und Geometrie.

Die Untersuchung der Geometrie klassischer Gruppen ist eng verbunden mit dem Erlanger Programm von Felix Klein. Die hier enthaltene Aufgabenstellung forderte von den Geometern die systematische Entwicklung von Geometrien unter der Sichtweise der Wirkung von Abbildungsgruppen auf den betrachteten Räumen. Bereits in Vorbereitung dieses Programms wie auch in der Folgezeit wurden vor allem solche Transformationsgruppen untersucht, deren geometrischer Inhalt Objekten der klassischen Geometrie oder der klassischen Physik angenähert ist. Die wichtigsten Beispiele sind hier die Euklidische, affine und projektive Geometrie und die Geometrie der Kreise und Kugeln, aber auch die spezielle Relativitätstheorie oder die symplektische Geometrie. Die damit verbundenen Gruppen, unitäre, symplektische und orthogonale Gruppen verschiedener definiter und nicht definiter symmetrischer Bilinearformen in kleinen Dimensionen, werden als klassische Gruppen bezeichnet. Die Invariantentheorie der Wirkung dieser Gruppen auf den betrachteten Räumen wird als Geometrie klassischer Gruppen bezeichnet. Dabei wurde der Begriff selbst maßgeblich von Hermann Weyl geprägt, dessen gleichnamiges Buch einen Überblick über die so zusammengefaßten Strukturen gibt.

[1] Weyl, H.: The classical groups. Princeton University Press, 1954.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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