Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: geometrische Verteilung

von dem Parameter p ∈ (0, 1) abhängende diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Potenzmenge \({\mathfrak{P}}({\mathbb{N}})\) der natürlichen Zahlen, welche durch die diskrete Dichte \begin{eqnarray}f:{\mathbb{N}}\ni k\to {(1-p)}^{k-1}p\in (0,1)\end{eqnarray} definiert ist. Die geometrische Verteilung zum Parameter p gibt für jedes k ∈ ℕ die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß bei unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit den zwei Ausgängen Erfolg und Mißerfolg und der Erfolgswahrscheinlichkeit p bei der k-ten Wiederholung des Experiments der erste Erfolg eintritt. Besitzt die Zufallsvariable X eine geometrische Verteilung mit Parameter p, so gilt für den Erwartungswert \(E(X)=\frac{1}{p}\) und für die Varianz \(Var(X)={\scriptstyle \frac{1-p}{{p}^{2}}}\).

Zuweilen wird auch die für p ∈ (0, 1) durch die Wahrscheinlichkeitsdichte \begin{eqnarray}g:{{\mathbb{N}}}_{0}\ni k\to {(1-p)}^{k}p\in (0,1)\end{eqnarray} auf der Potenmenge \({\mathfrak{P}}({{\mathbb{N}}}_{0})\) der natürlichen Zahlen inklusive Null definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung als geometrische Verteilung bezeichnet. Diese Verteilung gibt für jedes k ∈ ℕ0 die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß bei unabhängigen Wiederholungen des obigen Zufallsexperiments genau k Mißerfolge vor dem ersten Erfolg eintreten. Für eine Zufallsvariable Y mit einer geometrischen Verteilung zum Parameter p, die durch die Dichte g festgelegt ist, gilt \(E(Y)=\frac{1-p}{p}\) und \(Var(Y)=\frac{1-p}{{p}^{2}}\). Die geometrische Verteilung ist gedächtnislos (Gedächtnislosigkeit) und damit das diskrete Analogon zur Exponentialverteilung.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos