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Lexikon der Mathematik: geometrischer Quotient

Quotient Y einer algebraischen Varietät X unter der Operation einer algebraischen Gruppe G, d. h. ein G-invarianter Morphismus π : XY mit folgenden Eigenschaften:

1. π ist offen und surjektiv,

2. \({\pi }_{* }({{\mathscr{O}}}_{X}^{G})\space =\space {{\mathscr{O}}}_{Y}\),

3. π ist eine Orbitabbildung, d. h. die Fasern von π sind Orbits von G.

Nach einem allgemeinen Resultat von Rosenlicht existiert (in Charakteristik 0) stets eine G-stabile dichte Teilmenge UX so, daß auf U der geometrische Quotient existiert.

Wenn G reduktiv ist und X = Spec(A), A eine Algebra von endlichem Typ über K, dann ist X → Spec(AG) geometrischer Quotient genau dann, wenn alle Orbits abgeschlossen sind und dieselbe Dimension haben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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