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Lexikon der Mathematik: geordnete Stichprobe

Begriff aus der Statistik. Geht man von einer konkreten Stichprobe x = (x1,…, xn) einer Zufallsgröße X aus und ordnet die Elemente xk (k = 1,…, n) der Stichprobe gemäß \begin{eqnarray}{x}_{[1]}\le {x}_{[2]}\le \cdots \le {x}_{[n]}\end{eqnarray} nach wachsender Größe, so bezeichnet man das entstehende n-Tupel (x[1], …, x[n]) als konkrete geordnete Stichprobe. Den Elementen x[k] werden sogenannte Rangzahlen bzw. Rangplätze r(x[k]) zugeordnet. Die Rangzahl ist die Position des Elementes in der geordneten Stichprobe; sind mehrere Stichprobenwerte gleich, so bekommen sie als Rangplatz alle das arithmetische Mittel ihrer Positionen in der geordneten Stichprobe. Zum Beispiel werden der Stichprobe (7, 11, 17, 11, 3, 11) die geordnete Stichprobe (3, 7, 11, 11, 11, 17) mit den Rangplätzen (1, 2, 4, 4, 4, 6) zugeordnet. Wendet man das Ordnungsverfahren auf eine mathematische Stichprobe \(\overrightarrow{X}=({X}_{1},\ldots,{X}_{n})\) an, so heißt \(\overrightarrow{X}{}^{O}=({X}_{[1]},\ldots,{X}_{[n]})\) geordnete Stichprobe, wobei auch die Begriffe Variationsreihe oder Positionsstichprobe gebräuchlich sind. Die Komponenten X[k] der geordneten Stichprobe werden als Ordnungsstatistik, Ranggröße oder Positionsstichprobenfunktion bezeichnet. Wendet man die Operation der Rangplatzbildung auf eine mathematische Stichprobe an, so bezeichnet man das Tupel \(\overrightarrow{R}=(R({X}_{[1]}),\ldots,R({X}_{[n]}))\) der zugehörigen Rangplätze der geordneten Stichprobe als Rangstatistik und R(X[k]) als zufällige Rangzahl bzw. k-te Rangstatistik. Mitunter werden auch allgemeiner beliebige Stichprobenfunktionen, die nur von den zufälligen Rangzahlen abhängen, als Rangstatistiken bezeichnet. Die Statistiken \(\overrightarrow{X}{}^{O}\) und \(\overrightarrow{R}\) sind insbesondere in der sogenannten nichtparametrischen Statistik von zentraler Bedeutung, da sie günstige statistische Eigenschaften besitzen.

Ist X beispielsweise eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion f, so sind \(\overrightarrow{R}\) und \({\overrightarrow{X}}^{O}\) stochastisch unabhängig voneinander; die Dichtefunktion der geordneten Stichprobe ist durch \begin{eqnarray}{f}^{O}({x}_{[1]},\ldots,{x}_{[n]})=n!\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f({x}_{[k]})\end{eqnarray} gegeben, und es gilt \begin{eqnarray}P(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r})=\frac{1}{n!}\space \space \space \mathrm{f\ddot {u}r}\space \mathrm{alle}\space \space \overrightarrow{r}\in {{\mathbb{R}}}^{n}.\end{eqnarray}

Die geordnete Stichprobe stellt darüber hinaus eine vollständige und hinreichende Statistik dar, während die Verteilung der Rangstatistik \(\overrightarrow{R}\) nicht von der Verteilung von X abhängt. (Rangtest, Rangkorrelationskoeffizient).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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