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Lexikon der Mathematik: Gerade

Grundobjekt der Geometrie, dessen Eigenschaften durch die Axiome der Geometrie festgelegt sind.

Im allgemeinen wird eine Gerade als Punktmenge aufgefaßt; in diesem Fall ist sie ein eindimensionaler affiner Unterraum des ℝ2 oder ℝ3. Ist U ein eindimensionaler Teilvektorraum von ℝ2 oder ℝ3, so heißt der um einen Vektor x0 verschobene Raum x0 + U eine Gerade.

Diese Auffassung ist jedoch nicht zwingend, die Relation zwischen Punkten und Geraden wird durch die (allgemeinere) Inzidenz beschrieben (Inzidenzaxiome, Inzidenzstruktur). Durch zwei voneinander verschiedene Punkte A und B wird genau eine Gerade AB bestimmt. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte liegt stets auf der durch sie verlaufenden Geraden und wird als Strecke bezeichnet.

Zwei voneinander verschiedene Geraden g und h in einer Ebene können entweder zueinander parallel sein oder genau einen gemeinsamen Punkt besitzen. Für zwei Geraden im Raum ist zusätzlich der Fall möglich, daß g und h windschief zueinander sind, d. h. keinen gemeinsamen Punkt besitzen und nicht in einer Ebene liegen. Zwei voneinander verschiedene parallele oder sich schneidende Geraden bestimmen eindeutig eine Ebene.

Der Abstand zweier Geraden g und h ist die Länge einer Strecke, welche g und h verbindet und auf diesen beiden Geraden senkrecht steht. Für parallele Geraden gibt es unendlich viele derartiger Strecken, die alle gleich lang sind, für zwei windschiefe Geraden g und h gibt es genau eine Strecke, die auf g und h senkrecht steht.

Die analytische Beschreibung der Geraden geschieht mit einer Geradengleichung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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