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Lexikon der Mathematik: Geradengleichung

analytische Beschreibung einer Geraden durch eine parameterfreie oder einparametrige Gleichung bzw. ein Gleichungssystem (siehe auch Analytische Geometrie).

I. Koordinatengleichungen

In der Ebene wird jede Gerade g bezüglich eines Koordinatensystems mit den Koordinaten x und y durch eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Ax+By+C=0 \end{array}\end{eqnarray} beschrieben. Falls die Gerade g nicht parallel zur y-Achse ist (also A ≠ 0 gilt), so kann diese Gleichung in die Form y = mx + n (mit dem Anstieg m und dem Achsenabschnitt n) überführt werden, g läßt sich also als Graph einer linearen Funktion darstellen. Sind ein Punkt (mit den Koordinaten (x0; y0)) und der Anstieg m einer Geraden g bekannt, so kann für g eine Punkt-Richtungs-Gleichung \begin{eqnarray}y-{y}_{0}=m(x-{x}_{0})\end{eqnarray} angegeben werden.

Geraden der Ebene, die nicht durch den Koordinatenursprung verlaufen und zu keiner der beiden Achsen parallel sind, lassen sich weiterhin durch Abschnittsgleichungen beschreiben (Abschnittsgleichung einer Geraden).

Um eine Gerade im Raum durch Koordinatengleichungen zu beschreiben, ist ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen notwendig: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{A}_{1}x+{B}_{1}y+{C}_{1}z+{D}_{1}=0 \\ {A}_{2}x+{B}_{2}y+{C}_{2}z+{D}_{2}=0, & \end{array}\end{eqnarray} wobei die beiden Gleichungen nicht voneinander linear abhängig sein dürfen. Geraden in einem n–dimensionalen Raum werden dementsprechend durch lineare Gleichungssysteme aus n – 1 linear unabhängigen Gleichungen in n Variablen (den Koordinaten x1, x2xn) beschrieben, das in Matrizenschreibweise folgende Gestalt hat: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}A\cdot x+b=0 \end{array}\end{eqnarray} mit \(A\space =\space {({a}_{ij})}_{i=1\cdots n-1}^{j=1\cdots n}\), (wobei det A ≠ 0 sein muß), \(x\ =\ \left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ \vdots \\ {x}_{n}\end{array}\right)\) und \(b = \left(\begin{array}{c}{b}_{1}\\ \vdots \\ {b}_{n-1}\end{array}\right)\). Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist einparametrig und beschreibt somit eine Gerade (als eindimensionales geometrisches Objekt).

II. Parametergleichungen

Jede Gerade in einem beliebigen affinen Punktraum läßt sich durch einen ihrer Punkte P0 und einen vom Nullvektor verschiedenen Richtungsvektor a mittels einer Parametergleichung (mit dem Parameter t) darstellen: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}P={P}_{0}+t\cdot a\space \space \space (t\in {\mathbb{R}}). \end{array}\end{eqnarray}

Für Geraden in der Ebene hat diese Parameterdarstellung die Gestalt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{0}\\ {y}_{0}\end{array}\right)+t.\left(\begin{array}{c}{a}_{x}\\ {a}_{y}\end{array}\right). \end{array}\end{eqnarray}

Durch Elimination des Parameters t entsteht aus dieser Gleichung eine Koordinatengleichung der Form (1).

III. Normalengleichungen

Eine Gerade g in der Ebene kann durch einen Punkt P0 (mit dem Ortsvektor x0) und einen Stellungsvektor b, d. h. einen Vektor, der auf g senkrecht steht, beschrieben werden. Dann muß für jeden Punkt P der Geraden g (mit dem Ortsvektor x) der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{{P}_{0}P}\space =\space x\space -\space {x}_{0}\) auf dem Stellungsvektor senkrecht stehen, das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muß also Null sein: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}b.(x-{x}_{0})=0. \end{array}\end{eqnarray}

Diese Gleichung wird als Normalengleichung der Geraden g bezeichnet. Ist der Stellungsvektor b ein Einheitsvektor, so wird (6) als Geradengleichung in Hessescher Normalform bezeichnet. Durch Normierung des Stellungsvektors läßt sich jede Normalengleichung in die Hessesche Normalform überführen. In Koordinatendarstellung hat eine Geradengleichung in Hessescher Normalform die Gestalt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Ax+By+C=0\space \space {\rm{mit}}\space \space {A}^{2}+{B}^{2}=1. \end{array}\end{eqnarray}

Jede Koordinatengleichung (1) einer Geraden der Ebene läßt sich mittels Division durch \(\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}\) in die Hessesche Normalform bringen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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